【文章內(nèi)容簡介】 ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?－、 由 有 ： ， 得 。 是 可 逆 矩 陣 ，用 又 乘 矩 陣 方 程 的 兩 端 有 又 用 左 乘 上 式 的 兩 端 ， 并 把 代 入 ， 有 故 有 ＝，6 0 0 00 6 0 06 0 6 00 3 0 1B?????????????? 故 ? ?? ?1214 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 20 1 1 1 0 1 10 0 1 0 0 11 2 50 1 2001AX A B BX B A E A B X A B EA B A B A BX A B? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ? ??????????? ? ? ??????－－、 故 可 逆 ， ＝ 于 是 111115 1 4 2 4 01( 2 ) ( 4 ) 8 ( 2 ) ( 4 )812 ( 2 ) ( 4 )83 2 02 1 2 8 ( 4 ) ( 4 ) 1 2 00 0 2110440 2 0130 . 1881002A B B E A AB B AA E B E E A E B E EA E A E B EA E B E B EA??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ?????????????????????????－－－、 （ ） 由 2 ＝ － 左 乘 知或 故 可 逆 ， 且 ＝－ －（ ） 由 （ ） 知 ＝ ， 而 ＝ －－－＝ － － 故－100 0 2???????????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2226 ( 1 ) ,( 2) ,T T T TT T T T T T T T TTTTA A AA A A AA A A A A A AB B B B B B? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?、 167。 －167。 矩陣的初等變換、初等矩陣 一、填空與選擇題 1. 1 0 00 1 0?????? 2. (, )Ei j 、 1(( ))Eik、 ( , ( ))E i j k? 3. 0 1 11 0 00 0 1??????? 二、計算題 1. 2 1 1 23 1 3220 2 3 1 0 2 3 1 0 0 1 30 3 4 3 0 1 1 2 0 1 1 20 4 7 1 0 0 1 3 0 0 1 3r r r rr r r??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 13 122 3 2 30 0 0 0 0 1 0 50 1 0 5 0 0 1 30 0 1 3 0 0 0 0rr rrr r r r? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2. 1 4 3(1 , 2) ( 2 , 3 ) 2 0 13 1 2E A E?????????? 111 4 3 1 4 3 2 1 0( 1 , 2) 2 0 1 ( 2 , 3 ) ( 1 , 2) 2 0 1 ( 2 , 3 ) 1 3 43 1 2 3 1 2 3 2 1A E E E E??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 3. 21313 2 1 1 0 0 3 2 1 1 0 0( , ) 3 1 5 0 1 0 0 1 4 1 1 03 2 3 0 0 1 0 0 2 1 0 1rrrrAE??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 13122 3 21113 327326 3 2922 1 1 1 12 2 2 23 0 9 1 2 0 1 0 00 1 0 1 1 2 0 1 0 1 1 20 0 1 0 0 0 1 0rrrrr r rrr?????????? ????? ? ? ? ? ??? ??，7326 3 2111221 1 20A ??????? ? ? ???? 4. 4 1 2 1 3 1 0 0 1 0 2( , ) 2 2 1 2 2 0 1 0 1 5 33 1 1 3 1 0 0 1 1 2 4AB??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， 1 10 215 312 4X A B?????? ? ? ? ??? 5. 10A ?? ? ， 1 (3 )X A E B?? ? ? 1 1 4 1 0 0 1 0 0 1 9 1 0 1 1( , ) 2 3 1 0 1 0 0 1 0 1 2 6 70 1 6 0 0 1 0 0 1 2 1 1AE? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?119 10 1112 6 72 1 1A ???????? ? ? ????，1 1 03 0 4 14 3 2EB?????? ? ?????2 5 9 2 3 21 6 5 7 2 09 3X?????? ? ?????。 167。 矩陣的秩 一、填空與選擇題 1. ( ) ( )r A r B? 2. 1 3. 0 4. 4 二、計算題 1. 3 1 3 24 1 4 321 1 2 2 1 1 1 2 2 10 2 1 5 1 0 2 1 5 10 2 1 5 1 0 0 2 2 20 0 2 2 2 0 0 0 0 0r r r rr r r rA????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， ( ) 3RA?? 2. 21 2 30 2 2 3 30 0 3 3 6kA k kkk?????? ? ?? ? ???，22 2 03 3 6 0kkk???? ?? ? ? ?? 時 ( ) 3rA? 即 1 2 ( ) 3k k r A? ? ? ?且 時 。 當(dāng) 1k? 時 1 2 3 1 2 31 2 3 0 0 01 2 3 0 0 0A??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， ( ) 1rA??。 當(dāng) 2k?? 時 1 2 6 1 2 61 4 3 0 6 92 2 3 0 0 0A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， ( ) 2rA??。 3. A 為非滿秩矩陣， 1[ ( 1 ) ] ( ) 0na b b bb a b bA a n b a bb b b a?? ? ? ? ? ? ? ( 1)a b a n b? ? ? ? ?或 三 、證明題 1. 只要證 ()R AB m? （不滿秩） ( ) ( )R AB R A? ，又 ( ) m i n{ , } ,R A m n n m n? ? ? ()R AB n m? ? ?， AB? 不滿秩， 0AB?? 2. （ 1）當(dāng) ()An?R 時 A 滿秩， 0A?? 又 *A A A E? ， 1** 0nnA A A A A ?? ? ? ? ?， *A? 滿秩， *()R A n?? （ 2）當(dāng) ( ) 1An??R 時 0A? ， * 0A A A E? ? ? *( ) ( )R A R A n? ? ?。 又 ( ) 1An??R ， *( ) 1RA??。 ( ) 1An??R ， ?A 中至少有一個 n1 階子式不為 0 *A 是由 A 的 n1 階代數(shù)余子式構(gòu)成的， * 0A??， *( ) 1RA?? *( ) 1RA?? （ 3）當(dāng) ( ) 1An??R 時， A 的任意 n1 階子式都為 0， * 0A??， *( ) 0RA?? 167。 線性方程組 一、填空與選擇題 1. 無窮多 2. 非零 3. A 二、計算題 1. 151 0 020 1 0 1 20 0 1 20 0 0 0rA??????? ??????， ?非自由未知量 1 2 3,x x x ，自由未知量 4x ， 令 4 1x? ，則得到一個基 礎(chǔ)解系12341521221xxxx?????????????????????????????? ?通解 , ( )X C C R???其 中 2. 2 1 1 23 1 3 221 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 0 3 3 4( , ) 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 12 1 5 4 7 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0r r r rr r r rAb????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 1 3 42 3 433443 3 421x x xx x xxxxx? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ??， 令 3 1 4 2,x c x c??，則1 1 22 1 21 2 1 231423 3 4 3 3 421 1 2 1 , ( , )1 0 00 1 0x c cx c c c c c c Rxc? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3. 2131221 1 4 1 1 4( , ) 1 1 0 1 1 41 1 2 4 0 2 2 8rrrrAb??? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 322321221 1 4 1 1 40 2 2 8 0 2 2 80 1 1 4 ( 1 ) ( 4 )0 0 ( 4)2rrrrr???? ? ? ? ? ??????????????? ? ? ?? ? ? ? ??? ????? 當(dāng) 14???和 時則有1 1 42( , ) 0 1 4220 0 11Ab??????????????????， ( ) ( , ) 3r A r A b??有唯一解。 當(dāng) 1??? 時 ( ) 2 ( , ) 3r A r A b? ? ?，此時原方程組無解。 當(dāng) 4?? 時增廣矩陣為 1 1 4 4 1 0 3 00 1 1 4 0 1 1 40 0 0 0 0 0 0 0? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，此時 ( ) ( , ) 2 3r A r A b? ? ?， 故原方程組有無窮多解，對應(yīng)方程變?yōu)?13233 4xx???? ?? ??， 令 3xc? ，則通解為 123301 4 ,10xx c c Rx?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 三 、證明題 證： AX AY? ， ( ) 0A X Y? ? ? ()r A n? ， ( ) 0A X Y? ? ? 有唯一的零解， 0XY? ? ? ， XY?? 第三章 習(xí)題課