【文章內容簡介】 C、 D在同一平面上 . 即： xy+z=2. 13431651132110zyx? 10. 求一二次多項式 p2(x), 使 p2(1)=6, p2(1)=2, p2(2)=3. 過點 A、 B、 C、 D的平面方程為 0022033012001zyx? 12666 ????? zyx 解 令 p2(x)=ax2+bx+c，帶人條件可得 ??????????????32426cbacbacba 解得， a=1, b=2, c=3 所以， p2(x)=x22x+3. 1. 設 A, B均為 2階矩陣 , A* , B*分別為 A, B的伴隨矩陣 , 若 |A|＝ 2, |B|=3, 則分塊矩陣 的伴隨矩陣為 [ ]. ????????OBAO一 . 選擇題 習題二（ 54頁） B (A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) . ????????OABO**23????????OABO**32 ????????OBAO**23????????OBAO**32 解 由于 AA*=|A|E=2E, BB*=|B|E=3E, 所以有： 所以 , 應選 “ B ”。 EOB AOEEO OEOABOOBAO ??????????????????????????? 66632** 2. 設 A為 3階 矩陣 , 將 A的第二列加到第一列得矩陣 B, 再交換 B的第二行和第三行得單位矩陣 , 記 , 則 A=[ ]. 解 由已知有 : AP1＝ B, (A) P1P2。 (B) P1－ 1P2。 (C) P2P1 。 (D) P2P1－ 1. 所以 , A＝ BP1－ 1 所以 , 應選 “ D ”。 D ??????????????????????010100001,10001100121 PPP2B=E ＝ P2－ 1 P1－ 1 ＝ P2P1－ 1 5. 設 F, G都是 4階方陣 , 且 |F|=2, |G|=5, 則 |3FG|等于 [ ]. .8 1 0)(。8 1 0)(。30)(。30)( ?? DCBA 3. 設 A是 4階方陣 , 且 |A|=8, B=1/2A, 則 |B|= [ ]. D .21)(。21)(。4)(。4)( DCBA ?? 4. 設 G是 5階的可逆方陣 , 且 |G|≠1, G*是 G的伴隨矩陣 ,則有 [ ]. .||||)(。||||)(。|| 1||)(。||)( 5*4*** GGDGGCGGBGGA ????C D 6. n階矩陣 A滿足 A2＝ O, E為 n階單位矩陣 , 則 [ ]. 解 由于 (A－ E)(A+E)=A2－ E=E, 所以 (A)|A－ E|≠0, 但 |A+E|=0。 (B)|A－ E|=0,但 |A+E|≠0。 |A＋ E||A－ E|=|E|=1， 所以 , 應選 “ D ”。 D (C)|A－ E|=0, 且 |A+E|=0。 (D)|A－ E|≠0,且 |A+E|≠0。 二 . 填空題 ? ? )(.12121???????????????nnbbbaaa????????????????nnnnnnbababababababababa???????212221212111 2. 設 A=(aij)是 3階非零矩陣 , |A|是 A的行列式 , Aij是A的代數余子式 , 若 aij+Aij=0(i, j=1,2,3), 則 |A|=( ). 解 由 aij+Aij=0可得 , A*=－ AT, 于是－ AAT=|A|E. 所以 , － |A||AT|=|A|3, 因此 , |A|=0或 |A|=－ 1. 又由于 , A≠ O, 所以 , AAT≠ O, 因此 , |A|≠0. 所以 , |A|=－ 1. － 1 兩邊同取行列式， A的行列式相當于一個數 k p36且和轉置行列式相等 解 因為 3. 設 , B=P－ 1AP, 其中 P為三階可逆矩陣 , 則 B2022－ 2A2=( ). ?????????????100001010A21 0 00 1 00 0 1???????????A 41 0 0, 0 1 00 0 1??????????AE 所以 , B20222A2=P1A2022P2A2 =P1E501P2A2=E2A2 3 0 00 3 00 0 1????????????????????? 133 4. 設 ?1, ?2, ?3, ?, ?均為 4 1矩陣 , A=(?1, ?2, ?3, ?), B=(?1, ?2, ?3, ?), 且 |A|=2, |B|=3, 則 |A3B|=( ). 56 解 |A3B|= |2?1, 2?2, 2?3, ?3?| = 8|?1, ?2, ?3, ?3?| = 8(|?1, ?2, ?3, ?| +|?1, ?2, ?3, 3?|) = 8(|A|3|B|)=56 5. 若對任意 n?1矩陣 X, 均有 AX=O, 則 A=( ). 解 A=AE=A(e1, e2,… ,en)=(Ae1, Ae2, … , Aen)=O. O 三 . 解答題 1. 設階矩陣 A, B滿足 AB=BA, 試證明下列等式： 證明 (A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2 =A2+2AB+B2 (1) (A+B)2=A2+2AB+B2 (2) A2－ B2=(A+B)(A－ B)=(A－ B)(A+B) 證明 (A+B)(A－ B)=A2－ AB+BA－ B2=A2－ B2 (A－ B)(A+B)=A2+AB－ BA－ B2=A2－ B2 解 令 則有 所以， z=0， x=w. 2. 求與 乘法可交換的所有矩陣 . 1101?????? ????????wzyx?????????????????????????????????10111011wzyxwzyx??????????????????? ??wzzyxxwzwyzx即與 乘法可交換的所有矩陣為： 1101??????Ryxxyx?????????,0所以 A6=(E)(E)=E , A12=E 13223122A??????????????3. 設 , 求 A6及 A11. 21322,3122A???????????????? 解 由于 3 1001AE???? ? ?????? A11=A1= 13223122?????????????4 9 3 3=,2 1 1 2AP?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 4. 設 , 求 (P1AP)n, An (n為正整數 ). 1 231 ,139P? ??? ????? 解 (P1 AP)n=P1AnP . 所以 1 6 3 0 7 010 1 8 0 29P A P? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?n1nn70()0 ( 2 )P A P? ??? ????nnn1nn3 3 2 37 0 7 011 2 1 390 ( 2 ) 0 ( 2 )A P P? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?n n n nn n n n6 7 3 ( 2 ) 9 7 9 ( 2 )19 2 7 2 ( 2 ) 3 7 6 ( 2 )??? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ??? 解 利用分塊對角矩陣求逆公式可得 5. 求下列矩陣的逆矩陣 ???????????????1100210000120025)1(??????????????????????????????????3/13/1003/23/1000052002111002100001200251 解 因為 ????????????????????1111111111111111)2(????????????????????10000100001000011111111111111111???????????????????????10010101001100010220202022001111~????????????????????4/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/11000010000100001~??????????????????????1111001010100014000220020201111~ 所以， 解法 2 由于 ?????????????????????111111111111111141?????????????????????4/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/4/14/11