[理學(xué)]線性代數(shù)課件(1)(編輯修改稿)
2025-03-20 12:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 xxyxyy ?? ??????????????或 12 , , , , nx x x 12, , , ,ny y y結(jié)論 12, , , n? ? ?12, , , n? ? ?舊坐標(biāo) 新坐標(biāo) 舊坐標(biāo) 新坐標(biāo) 2) 坐標(biāo)變換公式 設(shè) Vn中的 向量 ? , 在基 下的坐標(biāo)為 在基 下的坐標(biāo)為 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 證明 ? ? ?12, , , n? ? ??? ? ? ?212 1, , , nn P??? ??? ?? ?1212 ., , ,nnyyPy? ? ?????? ??????? ?1212, , ,nnxxx? ???????? ??????? ?12, , , n? ? ??12nxxx????????????12nyyy????????????由于在確定的基下 , 坐標(biāo)是唯一的，所以 1212 .nnyyPxx yx?????????? ???????? ???北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 例 已知 12,??與 12,??均為 2R 的基， 其中 1 2 1 21 2 1 1, 。 , ,1 3 1 3? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?(1)求從基 12,??到基 12,??的過渡矩陣． (2)求向量 38? ???????在基 12,??及基 12,??下的坐標(biāo)． 解 (1)設(shè)從基 12,??到基 12,??的過渡矩陣為 P, 則有 1 2 1 2( ) ( ) P,? ? ? ??即 ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?1 1 1 21 3 1 3 P,從而 ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?11 2 1 11 3 1 3P? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?3 2 1 115 1 1 1 3??? ?????1 91 .5 2 2北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 (2)設(shè) ?在基 12,??下的坐標(biāo)為 12,xx 即 1122( ) ,xx? ? ? ??? ????? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??123 1 2 ,8 1 3xx從而 ????? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???1121 2 31 3 8xx? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?3 2 315 1 1 85 .1???????設(shè) ?在基 12,??下的坐標(biāo)為 12,yy則由坐標(biāo)變換公式得 11122yxP ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?2 9 514 2 1 111 .4 11??? ????北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 歐氏空間 引入： ? ? ? ?a x x x b y y y1 2 3 1 2 3,??， ， ， ，內(nèi)積 ： ab?? 332211 yxyxyx ??長度 : 夾角 ： ||a a a? ? ?2221 2 3x x x??cos? | | | |abab?? ?abO?北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 定義 1122,nnababab??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?( , )?? ?稱 (?, ?)為向量 ?與 ? 的 內(nèi)積 . ( , )?? ?? ?1212, , ,nnbba a ab??????????T???1 1 2 2 nna b a b a b? ? ?T???1) 內(nèi)積定義 設(shè)有 n維向量 令 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) (1 ) ( , )??? ?( 3 ) ,? ? ?? ?( 2 ) ,? ? ??? ? 0( 4 ) , ,?? ?。( , )???? ?,? ? ?? ? ?。,? ???? ? ? ?, , 。? ? ? ???(以下 ?, ?, ?為 n維向量 , ?為實(shí)數(shù) ) (分配律 ) (對稱性 ) 且當(dāng) ?≠0時(shí) , 有 (?, ?) 0。 當(dāng) ? = 0時(shí) , 有 (?, ?) = 0。 (正定性 ) 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 | | ( , )? ? ??定義 令 (1) 向量模定義 2) 向量的模及性質(zhì) 2 2 212 ,na a a? ? ? ?稱 |?|為 n維向量 ?的 模 (或 長度 ). (2) 向量的長度具有下述性質(zhì)： 。| | | || |? ? ? ??|| .| | | |? ? ? ?? ? ?(,| )| ? ??? 0?? ?| | ,? ? ? ? ? ?? | | .??? 2 2 212( ) ( ) ( )na a a? ? ?? ? ? ?當(dāng) ? ≠0時(shí) , 有 |?| 0。 當(dāng) ? = 0時(shí) , 有 |?| = 0. 非負(fù)性 齊次性 三角不等式 北京科技大學(xué) 《 線性代數(shù) 》 課程組 定理 柯西 施瓦茨 (CauchySchwarz)不等式 | ,( , ) | | | | |? ? ? ??()F ? ?對任意 ? 有 ,0?而 ()F ? ? ?,? ? ? ??? ? ?,? ? ???? ? ? ? ? ?2, 2 , ,? ? ? ? ?
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