【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 其通解．解：因?yàn)樗o方程組是含三個(gè)方程三個(gè)未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當(dāng)系數(shù)行列式為0時(shí)方程組有非零解．由 可得或時(shí)原方程組有非零解． 當(dāng)時(shí)，原方程組系數(shù)矩陣為，選為自由未知量，取，得， 方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù)． 當(dāng)時(shí)，原方程組系數(shù)矩陣為，選為自由未知量，取，得， 方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù)． （4）討論當(dāng)取何值時(shí)方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解的情況下求出其通解．解： 當(dāng) ，即，時(shí)，原方程組無(wú)解． 當(dāng) ，即，時(shí)，原方程組有唯一解． 當(dāng) ，即，或者時(shí)，原方程組有無(wú)窮多解．當(dāng)時(shí)，原方程組中，選為自由未知量，在對(duì)應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系在中令得 一個(gè)特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． 當(dāng)時(shí)，原方程組中，選為自由未知量，在對(duì)應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系在中令得 一個(gè)特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)．（5）已知線性方程組問方程組何時(shí)無(wú)解？何時(shí)有唯一解？何時(shí)有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解的情況下求出其通解．解： 當(dāng) ，即，或時(shí)，原方程組無(wú)解． 當(dāng) ，即，時(shí)，原方程組有唯一解． 當(dāng) ，即，且時(shí)，原方程組有無(wú)窮多解．當(dāng)且時(shí)，原方程組中，選為自由未知量，在對(duì)應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系在中令得 一個(gè)特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)．（6）若是方程組的基礎(chǔ)解系，證明：也是該方程組的基礎(chǔ)解系．證明：由于，同理可以驗(yàn)證也是的解，由題設(shè)知的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含3個(gè)解向量，下面只需證明是線性無(wú)關(guān)的．設(shè)整理得由于線性無(wú)關(guān)，故有又系數(shù)行列式，故從而線性無(wú)關(guān)，是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．（7）設(shè)方程組 證明：此方程組對(duì)任意實(shí)數(shù)都有解，并且求它的一切解．證明： 由于 ，故對(duì)任意實(shí)數(shù)原方程組都有解． 對(duì)，選為自由未知量，在對(duì)應(yīng)的中令得 ，導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為在中令得 ，原方程組的一個(gè)特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)．（8）設(shè)是（）的兩個(gè)不同的解，的一個(gè)非零解，證明：若，則向量組線性相關(guān)．證明：因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量．由解的性質(zhì)，是的非零解，又題設(shè)中是的非零解，顯然它們線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)滿足 ， 整理得， 從而向量組線性相關(guān)．第五章 矩陣的特征值與矩陣的對(duì)角化 矩陣的特征值與特征向量填空題1) 矩陣的非零特征值是 3 ．2) 階單位陣的全部特征值為 1 ，全部特征向量為 全體n維非零實(shí)向量 3) 已知三階方陣的特征值為，則的特征值為的特征值為，的特征值為，的特征值為．4) 已知為二階方陣，且，則的特征值為 0，1 ．選擇題1) 設(shè)是階矩陣，若，則的特征值（ C ） 全是零 全不是零 至少有一個(gè)是零 可以是任意數(shù)2) 若是階矩陣是可逆陣，則的特征值（ B ） 全是零 全不是零 至少有一個(gè)是零 可以是任意數(shù)(3) 設(shè)＝2是可逆矩陣的一個(gè)特征值，則矩陣的一個(gè)特征值等于（B ） 4) 若為階方陣，則以下結(jié)論中成立的是（ D ）的特征向量即為方程組的全部解向量 ；的特征向量的任一線性組合仍為的特征向量； 與有相同的特征向量； 若可逆，則的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量也是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量5) 與階矩陣有相同特征值矩陣為 D 求下列矩陣的全部特征值及特征向量1）解：特征方程為 特征植為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的特征向量，其中為非零常數(shù)．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的特征向量，其中為非零常數(shù)．2）解：特征方程為 特征植為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù)． 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù)．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù)．3）解：特征方程為 特征植為對(duì)，對(duì)應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)特征向量，其中為不全為零的常數(shù)4）解：特征方程為 特征植為對(duì)，對(duì)應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對(duì)應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù)．設(shè)為三階方陣，且，其中 是的伴隨矩陣，求的特征值和特征向量．解：由于，故的特征植為又，對(duì)應(yīng)方程組為，可選一個(gè)基礎(chǔ)解系為基本單位向量組，故的特征向量為，其中為不全為零的常數(shù)． 相似矩陣、矩陣的對(duì)角化填空題1) 若四階方陣與相似，矩陣的特征值為，為四階單位矩陣，則 24 說明：由與相似，則的特征值也為，的特征值為，為全部特征值的乘積，因此為24.2) 若矩陣相似于矩陣，則 1 說明：，由于與均可逆，則選擇題1) 階方陣具有個(gè)互不同的特征值是相似于對(duì)角矩陣的（B） 充分必要條件 充分而非必要條件 必要而非充分條件 即非充分也非必要條件2) 階方陣相似于對(duì)角矩陣的充要條件是有個(gè)（C） 相同的特征值 互不相同的特征值 線性無(wú)關(guān)的特征向量 兩兩正交的特征向量3) 設(shè)三階矩陣的特征值分別是，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是,設(shè)，則（A） 4) 若，都是階矩陣，且可逆，相似于，則下列說法錯(cuò)誤的是 C 相似于 相似于 相似于 三者中有一個(gè)不正確設(shè)三階方陣的特征值為1）2) 設(shè)，求的特征值及其相似對(duì)角陣，并說明理由由于，故即，所以的特征值為0，4，1．3) 判斷下列矩陣是否相似1） 與 解：特征方程為 特征值為 故可對(duì)角化，2） 與 解：特征方程為 特征值為 對(duì)，系數(shù)矩陣，秩為2，說明只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故它不可對(duì)角化，不相似與所給的對(duì)角矩陣．3） 與 解：特征方程為 特征值為 對(duì)，系數(shù)矩陣，秩為1，說明有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故它可對(duì)角化，相似與所給的對(duì)角矩陣．判斷下列矩陣能否對(duì)角化？若能，則求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣．1）解：特征方程為 特征值為