【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。230。111246。04H231。231。111247。247。.04IA=PLP1=P(2E)P1+247。248。230。5404J231。6246。231。333247。231。247。.232。768247。248。04OA的特征值是2與1(n1重)..=(1,1,L,1)T是A屬于l=2的特征向量,X2=(1,1,0,L,0)T,X3=(1,0,1,L,0)T,L,Xn=(1,0,0,L,1)TA屬于l=247。247。A1=231。231。111L1247。231。2n2n2nM247。231。MM247。.231。247。231。247。232。12n112nL12n247。(1)231。1246。231。2247。(2)231。231。247。231。1247。247。(3)231。232。3247。248。231。231。1247。232。1247。248。231。247。232。2247。248。230。1246。230。246。(4)231。231。1247。(5)A2247。.231。247。不能對(duì)角化。(6)231。2231。232。0247。248。231。247。232。4247。248。230。05E令P=231。212246。231。100247。230。247。,則L=231。1246。1247。231。231。247。.232。011247。248。231。232。0247。248。21246。005F(1)T=1230。231。2230。40246。3231。231。212247。247。,T1AT=231。231。010247。232。122247。248。231。247。232。002247。.248。230。231。111246。231。263247。247。(2)T=231。231。111247。230。1231。3246。3247。231。231。263247。,TAT=247。.247。231。231。231。011247。232。6247。248。232。63247。248。230。231。111246。231。247。236247。05GP=231。231。12247。230。231。0246。231。0231。36247。,P1AP=231。1247。247。.231。111247。247。231。232。4247。248。232。236247。247。247。05HQ=231。231。142247。230。231。5353247。,QTAQ=231。2246。247。231。2247。231。247。.231。7247。231。052247。232。248。232。353247。248。05Ia=1,b==1,a=3,b=247。231。1247。230。231。247。05Kx+y=247。247。.05MA~231。O247。231。247。231。232。111247。248。231。1247。.231。231。0247。247。231。231。O247。247。232。O247。248。230。9246。05N231。231。247。231。1247。05PA~247。.248。230。001246。05Q(1)x=0,y=2。(2)P=231。231。210247。247。.231。232。111247。248。06An!.(2n3)！.06Dk(k2)(1)231。246。(2)6n1230。231。231。31246。232。23n123n1247。247。248。231。93247。247。232。248。230。(3)231。100246。231。13n1+23n13n247。247。.231。232。13n2+23n23n247。248。06Hx100=5100+=32100+=5+6231。232。3247。248。,nlim174。165。an=,b站至少有80只小船..247。.01Gy2232。1+247。247。248。01H(1)f=z21+z22,相應(yīng)的線性變換為z=Py=(P230。1112P1)=231。231。231。010246。247。247。,P230。1002=231。013246。247。,232。001247。248。231。231。232。001247。247。248。230。x1246。230。(2)z2z22231。247。231。111/247。=231。232。x3247。248。231。112247。247。231。231。z2247。247。.232。001/2247。248。231。232。z3247。248。230。100(3)f=12y222+2y3相應(yīng)的線性變換x=231。246。231。247。231。231。110247。232。1/21/21247。247。y,248。230。x1246。01I231。231。x247。1230。231。212246。247。230。231。y1246。247。231。2247。01Jc=3,4y21+247。=3231。231。122247。231。y2247。x3248。232。221247。248。231。232。y247。3248。230。111231。246。231。263247。01Ka=2,b==Cy,C=231。231。111247。247。231。263247。,231。247。231。21247。232。0247。63248。01Lf(x)=x2221,x2,x312x2+x3+2x1x22x2x3++x3=(2,2).02G(1)正定.(2)(1)l2。(2)l247。230。411246。02Ia=b=0,P=231。231。010247。247。02NB=1231。231。3231。231。231。141247。247。247。231。11247。.232。114247。.248。232。0247。22247。(1)V1是向量空間.(2)(1)W1不是子空間.(2)=2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3=2.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5),14,4,4247。162。246。230。x1162。246。230。212246。230。x1246。231。231。x2247。247。=231。231。102247。247。231。231。x162。2247。247?；?31。231。x162。247。231。247。231。247。232。3248。231。2247。=231。001247。231。x2247。x247。232。010247。248。231。232。x162。3247。248。231。232。x162。3247。248。231。232。111247。248。231。232。x3247。248。230。在所給定的兩組基下具有相同坐標(biāo)的全部向量為k231。3246。231。231。2247。247。,k232。3247。(1)(3,4,4)T。(2)230。231。11232。2,5,13246。2247。(b231。5/21/2246。247。1,b2)=(a1,a2,a3)231。231。231。3/23/2247。247。.232。5/25/2247。248。02Fb=(1,2,2)T時(shí),(1)A1=231。100231。231。1100246。247。247。231。0110247。247。.232。1011247。248。(2)所求非零向量a=0a1+0a2+0a3+ka4=ka4(k為非零任意常數(shù)).02H(1)230。231。111246。231。231。011247。247。(2)b232。001247。248。1=(1,0,0)T,b2=(0,1,0)T,b3=(0,0,1)T。(3)A230。231。11246。231。231。247。.02I(1,1,L,1).232。247。3247。+a12230。231。03A231。a21+a22a11a12231。a31+a32232。230。a2203C(1)231。231。a12231。a232。32a21a11a31a23246。a13247。247。a33247。248。a12a22a12a32a13246。a23a13247。247。.a33247。248。230。011246。247。03B231。231。020247。.231。210247。232。248。230。a11231。a21(2)231。231。k231。a232。31ka12a22ka32a13246。a23247。247。k247。a33247。248。230。a11a21a11+a12a21a22(3)231。231。a21a31a21+a22a31a32231。aa31+a32232。31a11+a12+a13a21a22a23246。a21+a22+a23a31a32a33247。247。247。a31+a32+.第三篇：線性代數(shù)二次型習(xí)題及答案第六章二次型246。230。B1246。與247。231。247。證：因?yàn)锳1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1=C1TAC11，1．設(shè)方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明231。T因?yàn)锳2與B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2=1令C=231。230。C1232。246。247。，則C可逆，于是有 C2248。T1246。230。C1230。B1246。230。C1TAC246。230。A1246。230。C11231。247。=231。247。=231。247。231。247。231。TBC2248。232。A2CAC232。2248。248。232。232。222248。232。230。A1246。230。B1246。即231。與247。231。247。2．設(shè)A對(duì)稱，B與A合同，則B對(duì)稱證：由A對(duì)稱，故A=，所以存在可逆矩陣C，使B=CAC，于是TTA246。T230。1247。=C231。C248。2232。246。247。CA2248。BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B．設(shè)A是n階正定矩陣，B為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在n階可逆矩陣P，：因?yàn)锳是正定矩陣，所以存在可逆矩陣M，使MTAM=E記B1=MBM，則顯然B1是實(shí)對(duì)稱矩陣，于是存在正交矩陣Q，使 TQTB1Q=D=diag(m1,L,mn)其中m1,L,mn為B1==MQ，則有PTAP=E,PTBP=DA,．設(shè)二次型f=229。(ai=1mi11令A(yù)=(aij)m180。n，則二次型f的秩等于r(A).x+L+ainxn)2，證：方法一將二次型f寫成如下形式：f=229。(ai1x1+L+aijxj+L+ainxn)2i=1m設(shè)Ai=(ai1,L,aij,L,ain)(i=1,L,m)107 230。a11La1jLa1n246。230。A1246。231。247。231。247。MMM231。247。231。M247。則A=231。ai1LaijLain247。=231。Ai247。231。247。231。247。MMM231。247。231。M247。231。a247。231。247。232。m1LamjLamj248。232。Am248。230。A1246。231。247。M231。247。mTTTT于是AA=(A1,L,Ai,L,Am)231。Ai247。=229。AiTAi231。247。i=1M231。247。231。A247。232。m248。230。ai1246。231。247。231。M247。mm22故f=229。(ai1x1+L+aijxj+L+ainxn)=229。[(x1,Lxj,Lxn)231。aij247。]231。247。i=1i=1231。M247。231。a247。232。in248。230。ai1246。230。x1246。230。x1246。231。247。231。247。231。247。MM231。247。231。247。231。M247。mmT=229。[(x1,Lxj,Lxn)231。aij247。(ai1,Laij,Lain)231。xj247。]=(x1,Lxj,Lxn)(229。AiAi)231。xj247。231。247。231。247。231。247。i=1i=1MM231。247。231。247。231。M247。231。a247。231。x247。231。x247。232。in248。232。n248。232。n248。=X(AA)X因?yàn)锳A為對(duì)稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)．T方法二設(shè)yi=ai1x1+L+ainxn,i=1,L,=(y1,L,ym)，于是Y=AX，其中X=(x1,L,xn)T，則2f=229。yi2=y12+L+ym=YTY=XT(ATA)=1m因?yàn)锳A為對(duì)稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)．T5．設(shè)A為實(shí)對(duì)稱可逆陣，f=xAx為實(shí)二次型，：222。設(shè)li是A的任意的特征值，因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱可逆矩陣，所以li是實(shí)數(shù)，且li185。0,i=1,L,，故存在正交矩陣P，在正交變換X=PY下，f化為標(biāo)準(zhǔn)形， 108即f=XTAX=YT(PTAP)Y=YTDY=YTdiag(l1,L,li,L,ln)Y2=l1y1（*）+L+liyi2+L+lnyn因?yàn)锳是正交矩陣，顯然D=PTAP=diag(l1,L,li,L,ln)也是正交矩陣，由D為對(duì)角實(shí)矩陣，故li2=1即知li只能是+1或1，這表明（*），=QY下二次型f化成規(guī)范形，于是22=YDYf=XTAX=Y(QTAQ)Y=y1+L+yr2yr2+1LynT其中r為f的正慣性指數(shù)，D=diag(1,L,1,1,L,1).TT顯然D是正交矩陣，由D=QAQ，故A=QDQ，且有AA=AA=E，．設(shè)A為實(shí)對(duì)稱陣，|A|0，則存在非零列向量ξ，使ξTAξ：方法一因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱陣，所以可逆矩陣P，使PTAP=D=diag(l1,L,li,L,ln)其中l(wèi)i(i=1,L,n)是A的特征值，由|A|0，故至少存在一個(gè)特征值lk，使lk0，230。0246。231。247。231。M247。取ξ=P231。1247。，則有231。247。231。M247。231。0247。232。248。230。l1246。230。0246。230。0246。231。247。231。247。231。247。OM231。247。231。M247。231。247。TT247。231。1247。=lk0 ，1,L0231。,0)lkξAξ=(0,L,1,L,0)PAP231。1247。=(0L231。247。231。247。231。247。OM231。247。231。M247。231。247。231。0247。231。247。231。ln247。232。248。232。248。232。0248。方法二（反證法）T若X185。0，都有XAX179。0，由A為實(shí)對(duì)稱陣，則A為半正定矩陣，故|A|179。0與|A|7．設(shè)n元實(shí)二次型f=XAX，證明f在條件x1+x2+L+xn=1下的最大值恰T為方陣A的最大特征值．解：設(shè)l1,l2,L,ln是f的特征值，則存在正交變換X=PY，使 f=XTAX=YT(PTAP)Y=l1y12+l2y2+L+lnyn設(shè)lk是l1,l2,L,ln中最大者，當(dāng)XX=x1+x2+L+xn=1時(shí)，有109T22222XTX=YTPTPY=YTY=y12+y2+L+yn=1因此2222f=l1y12+l2y2+L+lnyn 163。lk(y12+y2+L+yn)163。lk222這說明在x1=1的條件下f的最大值不超過lk． +x2+L+xn設(shè)Y0=(y1,L,yk,L,yn)T=(0,L,0,1,0,)T 則Y0TY0=1222f=l1y12+l2y2+L+lkyk+L+lnyn=lk令X0=PY0，則TX0X0=Y0TY=1并且Tf(X0)=X0AX0=Y0T(PTAP)Y0=lk222這說明f在X0達(dá)到lk，即f在x1+x2+L+xn=1條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值．8．設(shè)A正定，P可逆，：因?yàn)锳正定，所以存在可逆矩陣Q，使A=QTQ，于是PAP=PP=(QP)QP，顯然QP為可逆矩陣，且 TTTTT(PTAP)T=(QP)TQP=PTAP，即PTAP是實(shí)對(duì)稱陣，．設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A可逆的充分必要條件為存在實(shí)矩陣B，使AB+BA正定．證：先證必要性取B=A，因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，則 1TAB+BTA=E+(A1)TA=2E當(dāng)然AB+BA是正定矩陣． 再證充分性，用反證法．若A不是可逆陣，則r（A）因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，B是實(shí)矩陣，于是有TTTX0(AB+BTA)X0=(AX0)TBX0+X0B(AX0)=0這與ABAB+BA是正定矩陣矛盾．10．設(shè)A為正定陣，則A+A+：因?yàn)锳是正定陣，故A為實(shí)對(duì)稱陣，且A的特征值全大于零，易見A,A,A2*1A+A+3A全是實(shí)對(duì)稱矩陣，且它們的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩陣，2*T2*12*X185。0，有XT(A2+A*+3A1)X=XTA2X+XTA*X+XTA1X0 110即A+A+．設(shè)A正定，B為半正定，則A+證：顯然A,B為實(shí)對(duì)稱陣，故A+X185。0，XAX0，2*1XTBX179。0，因XT(A+B)X0，故A+．設(shè)n階實(shí)對(duì)稱陣A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，：設(shè)A,B的特征值分別為li,mi(i=1,L,n).由題設(shè)知li0,mi0,i=1,L,=diag(l1,L,li,L,ln)為PiA的特征向量，i=1,L,，所以存在正交矩陣P=(P1,L,Pi,L,Pn)，使 即AP,ii=liP由已知條件Pi也是B的特征向量，故BPi=miPii=1,Li,L,n因此ABPi=AmiPi=(limi)Pi，這說明limi是AB的特征值，且limi0，i=1,L,ABP=Pdiag(l1m1,L,limi,L,lnmn),PT=AB=Pdiag(l1m1,L,limi,L,lnmn)P，顯然AB為實(shí)對(duì)稱陣，．設(shè)A=(aij)n180。n為正定矩陣，b1,b2,L,bn為非零實(shí)數(shù)，記B=(aijbbij)n180。n則方陣B為正定矩陣．證：方法一因?yàn)锳是正定矩陣，故A為對(duì)稱矩陣，即aij=aji，所以aijbibj=ajibjbi，這說明B是對(duì)稱矩陣，顯然230。a11246。b21abb1Lanbb1221n1231。247。230。b1L0246。230。a11La1n246。230。b1L0246。2abbabLabb2121222n2n247。2231。B=231。=MOM247。231。MOM247。231。MOM247。 231。M247。231。0Lb247。231。aLa247。231。0Lb247。MMn248。232。n1nn248。232。n248。231。231。abbabbLabb247。247。232。nnnn248。232。n1n1n2n1對(duì)任給的n維向量X=(x1,L,xn)185。0，因b1,b2,L,bn為非零實(shí)數(shù)，所以T(b1x1,L,bnxn)T185。0，又因?yàn)锳是正定矩陣，因此有230。b1L0246。230。a11La1n246。230。b1L0246。TTXBX=X231。MOM247。231。MOM247。231。MOM247。X231。0Lb247。231。aLa247。231。0Lb247。n248。232。n1nn248。232。n248。232。230。a11La1n246。230。b1x1246。=(b1x1,L,bnxn)231。MOM247。231。M247。0231。aLa247。231。bx247。nn248。232。nn248。232。n1即B是正定矩陣．111方法二記230。a11b12a12b1b2La1nb1bn246。231。abbab2Labb247。2n2n247。 B=231。2121222MM247。231。M231。a