線性代數(shù)(魏_黃)習題解(編輯修改稿)
2025-04-21 07:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 于是有或. 但是對應于不同特征值的特征向量, 因而是線性無關的, 故或。 這是不可能的, 因為.所以不可能是的特征向量. (1) 。(2) (1)顯然的特征值是.,因此不可能與對角陣相似. 階矩陣與階對角陣相似的充分必要條件是有個線性無關的特征向量.(2) 顯然有3個相異的特征值, 因此與相似. 若階矩陣有個相異的特征值, 則與對角陣相似. ,若矩陣和相似, 試求: (1)和的值. (2)可逆矩陣, 使. 若階方陣與相似, 則(1), (2).相似矩陣和有相同的行列式和跡:都得到. 相似矩陣和有相同的特征多項式.比較得或. 而.矩陣的特征值為.對于, 得特征向量.對于, 得特征向量.對于, 得特征向量.令, 則有., 并求, 使(為對角陣)(1) (2) (3) (4)(1)解特征方程得特征值.對于, 得特征向量. 選.對于, 得特征向量 (k2, k3不全為0). 選..令, 則有.(2)解特征方程得特征值.對于, 得特征向量. 選.對于, 得特征向量. 選.對于, 得特征向量. 選.令, 則有. 試求一個正交矩陣, 使(1) (2) (1)解特征方程得特征值.對于, 得特征向量(k1, k2不全為0). 選.將正交化:對于, 得特征向量. 選.將單位化:令, 則是正交的, 且. 設, 求., 得特征值.對于, 選.對于, 選.令, 則有. 于是, 而 填空題(1) 設三階方陣的三個特征值為, 則的伴隨矩陣對應的行列式為 .的特征值為(2)設0是矩陣的特征值 , 則.(3)設為三階方陣, 為三個特征值, 對應特征向量為, 令, 則.(4)設,有相同的特征值 , 則, .解得(5)已知四階方陣相似于,的特征值為,為四階單位矩陣, 則.與相似, 因此有相同的特征值, 從而為. 于是(6)設三階實對稱方陣的特征值為, 則. . 若是實對稱矩陣的重特征值, 則存在個屬于的線性無關的特征向量.是1重特征值, 有1個屬于的線性無關的特征向量, 即齊次方程組的基礎解系含1個解向量. 于是. 現(xiàn), 故. 類似地, 是2重特征值, 方程組的基礎解系含2個解向量. 于是, 而. 選擇題(1)設是的對應于的兩個不同特征向量, 則如下為的特征向量的有.(A) (B) (C) (D) .由于是不同的, 不是零向量, 故是的特征向量, .事實上, 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于該特征值的特征向量. (A), (B), (C)中的向量有可能是零向量, 故不選(A), (B), (C).(2)已知三階矩陣的特征值為, 則矩陣(其中為的伴隨陣)的特征值為 .(A) (B) ( C) (D ) 注意到..設是的特征值, 則是的特征值. 可知, 的特征值有或.(3)已知為三階方陣的三個不同的特征值, 對應的特征向量依次為,令, 則等于.(A) (B) (C) (D) 不能確定.,其中 若階矩陣有個相異的特征值, 則與對角陣相似.解法二 或者更簡單地, 由的相異性知可對角化. 特征向量分別屬于, 而向量同樣是分別屬于的特征向量, 因此所得矩陣可作為相似對角變換的矩陣, 即.(4)如果下列哪一個成立, 則與相似. (A) (B)(C)與有相同的特征值.(D)與有相同的特征值且個特征值各不相同.選(D). 這時候和都與同一個對角陣相似, 其中是和的共同特征值.(5) 已知三階方陣滿足, 則.(A)與對角陣相似 (B)可逆(C)不可逆 (D)或的特征值滿足, 因此只可能是或.(?) 證明任何一個矩陣能唯一寫成一個對稱陣與一個反對稱陣之和.任給矩陣, 有,其中,是對稱矩陣:,而是反對稱矩陣:.故能唯一寫成一個對稱陣與一個反對稱陣之和. 又假設可寫成,其中是對稱的, 而是反對稱的. 則于是,或.可見寫成一個對稱陣與一個反對稱陣之和的形式是唯一的.. 設是冪等陣, 證明.(2)知冪等矩陣相似于形如的對角陣, 因此,但故. 設三階實對稱陣的特征值為, 對應于的特征向量為, 求對應于的特征向量及.設為對應于的特征向量, 則與正交, 滿足解得(不全為零).可選. 注意到是兩兩正交的, 將之單位化后構成矩陣,則是正交的, 且.于是 設, 當為何值時, 相似于對角陣. 習題五 求下列二次型的矩陣和秩.(1)(2)(1) (2) 求下列二次型的值(1)設二次型的矩陣為, 求(2) 設, 二次型的矩陣為,求.(1) (2) 用正交變換化下列二次型為標準形(1)(2)(1) 二次型的矩陣為. 現(xiàn)要對實對稱矩陣加以正交對角化, 即: 找出一個正交矩陣, 使得, 其中是對角陣(注意正交矩陣滿足). 為此, 先求的特征值.解的特征方程,得的特征值,.對于特征值, 解齊次方程組. 方程組的系數(shù)矩陣得特征向量. 取.對于特征值, 相應的齊次方程組的系數(shù)矩陣得特征向量. 取.是正交的, 將之單位化后構造正交矩陣.作正交變換, 即.則二次型化為標準形.(2)二次型的矩陣為. 解特征方程,得的特征值,.對于特征值, , 取特征向量.對于特征值, . 取特征向量.對于特征值, . 取特征向量.是正交的. 令,則是正交的. 作正交變換, 則給出的二次型化為標準形. 設, 試用正交變換化二次型為標準形.解特征方程,得特征值,.對于特征值,.取特征向量.對于特征值,.取特征向量.不是正交的, 將之正交化:.將單位化, 令.則是正交的. 作正交變換, 則二次型化為標準形.注: 上面對于特征值, 可取特征向量. 這樣是正交的. 可令. 這樣, 得到不同的變換矩陣, 但標準形仍然同上, 因為構造所用的特征向量仍然依次對應著特征值,. 用可逆線性變換將如下二次型化為標準形, 并求出正慣性指標:(1)(2)(1) 二次型的矩陣為.解特征方程,得特征值,.對于特征值,.取特征向量.不是正交的, 將之正交化:.對于特征值,.取特征向量.令.則是正交的. 作正交變換, 則二次型化為標準形.正慣性指標是1.解法二 本題的變換矩陣不要求是正交的, 可用配方法.取,則其中而可見作可逆線性變換,則給出的二次型就化為標準形.(2) 二次型的矩陣.特征方程,的根不容易求. 下面的結果是用matlab得到的. 特征值. 正交變換矩陣.則作正交變換, 二次型就化為標準形.正慣性指標.解法二 下面用配方法計算其中或.可見作是可逆線性變換則二次型化成標準形. 正慣性指標.: 二次型在時的最大值為實對稱矩陣的最大特征值.有正交變換, 使二次型化成標準形, 其中是的特征值(按由小到大的次序排列).正交變換不改變向量的模, 故. 于是在時,.取, 當時, , 這是的最大值.:(1)(2)(1)二次型的矩陣的各階主子式依次為.故二次型是負定的.(2) 二次型的矩陣的各階主
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