【正文】 利用M文件創(chuàng)建和保存矩陣 . (4)在Matlab軟件中，求行列式, 特征值的指令分別為 det(A) ?！钡娜齻€(gè)作用分別為 矩陣行間的分隔符 。0 3 1。*T*y運(yùn)行后結(jié)果顯示 p7_13A = 1 2 4 2 4 2 4 2 1X =[ .67***y3][ .33*y1+.89**y3][ .67*y1+.17e1*y2+.75*y3] f = 4*y1^2+5*y2^2+5*y3^2 求正交矩陣,使為對(duì)角矩陣.(1) (2) (1) A=[3 2 0。y=[y1。)ans = 3 1 1 0方程組有非零解, 這意味著. 用正交變換把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的正交變換.A=[1 2 4。a4=[5 7 7 8]39。特征值, 特征向量。 [B,C]=eigensys(A)B = [ 2, 1][ 1, 0][ 0, 1]C = [ 2, 0, 0][ 0, 2, 0][ 0, 0, 2]特征值, 特征向量 (不全為零).(2) A=[1 2 3。b=[1 2 a1].39。 det(A) ans = 1021*a+12*a^2a^3 roots([1 12 21 10])ans = 10 1 + 1/73058877i 1 1/73058877i當(dāng)時(shí),系數(shù)行列式, 方程組有唯一解. 當(dāng)時(shí), a=10。A=[2a 2 2。b=[6 4 2]39。 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)。B=null(A,39。 rank(A)ans = 3 trace(A)ans = 94 rref(A)ans = 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . A=[1 1 1 1。0 1 0 2 5。7 8 18 4。1 0 1 2。1 1 1 1。2 0。3 4 3]。b=[4 3 2 1]。2,2,1。 用正交變換把橢球面方程標(biāo)準(zhǔn)化, 并求出它的三個(gè)軸長(zhǎng).二次型的矩陣的各階主子式都是正的:.故二次型是正定的.的特征值可通過解特征方程得到, 相應(yīng)的特征向量通過求解齊次方程組分別可取為.構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組, 由它們構(gòu)成正交矩陣.作正交變換, 則有. 于是在新的坐標(biāo)系下橢球面的方程為, 或標(biāo)準(zhǔn)化為. 橢球面的三個(gè)半軸的長(zhǎng)度依次為. 填空題:(1)二次型的矩陣是, 該二次型的秩為.(2)矩陣對(duì)應(yīng)的二次型是.(3)已知二次型的秩為, 則參數(shù).(4)設(shè)是實(shí)對(duì)稱可逆矩陣, 則將化為的線性變換為.解法一, 令, 即作線性變換, 則化為.解法二. 作線性變換, 則(5)設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值分別為, 則當(dāng)時(shí), 為正定矩陣.當(dāng)時(shí), 的特征值都大于零. 選擇題:(1)設(shè), 均為階方陣, , 且, 當(dāng)時(shí),(A)秩()=秩() (B)(C) (D) 且當(dāng)且時(shí), ,是同一個(gè)二次型的矩陣, 而二次型的矩陣是唯一的, 故.(2)下列矩陣為正定的是(A) (B) (C) (D)(A)的矩陣不是正定的, 因其二階主子式.(B)的矩陣不是正定的, 因其二階主子式.(C)的矩陣不是正定的, 因其三階主子式.(D) 的矩陣不是正定的, 因其各階主子式都大于零: .(3)設(shè),是階正定矩陣, 則為正定矩陣.(A) (B) (C) (D)設(shè)和分別是,和的二次型, 則現(xiàn),是正定矩陣, 所以. 又, 有, 從而. 于是. 故是正定的.(４)實(shí)二次型為正定的充分必要條件是.(A)　　(Ｂ)存在階可逆矩陣, 使(Ｃ)負(fù)慣性指標(biāo)為零　　　(D)對(duì)某一, 有(A)只是必要條件.矩陣的正慣性指標(biāo)與負(fù)慣性指標(biāo)之和等于的秩:. 而時(shí), 但這不保證正慣性指標(biāo)為. 故不選(C).(D)中“對(duì)某一”要改為“對(duì)任一”才符合正定二次型的定義. 故不選(D).(B). 若是階實(shí)對(duì)稱矩陣，則下列命題等價(jià): (1)是正定二次型(或是正定矩陣)。 A的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組, 即219。 記, 求., 得而., 證明與的任意線性組合也正交.,是一個(gè)維向量, 且, 證明.因?yàn)榫€性無(wú)關(guān), 而線性相關(guān)(個(gè)維向量必然線性相關(guān)), 所以可由線性表示:.但與都正交, 于是利用上題結(jié)論與的任意線性組合也正交, 因此與自己正交. 與自己正交的向量只有零向量.:(1)設(shè)向量與正交, 則.(2)向量與的距離和內(nèi)積分別為和.(3)向量與的夾角為.(4)向量組經(jīng)施密特方法正交規(guī)范化為.(5)若矩陣是正交矩陣, 則的值分別為.(1)(2) 向量與內(nèi)積為。 (3)有無(wú)窮多解. 并求此時(shí)方程組的通解..(1)時(shí)方程組有唯一解.(2) 時(shí), . 無(wú)解(2) 時(shí), , 有無(wú)窮多解. 設(shè)(1)當(dāng)為何值時(shí), 向量組線性相關(guān).(2)當(dāng)為何值時(shí), 向量組線性無(wú)關(guān).(3)當(dāng)線性相關(guān)時(shí), 將表示為的線性組合.(1)當(dāng)時(shí),線性相關(guān)。可由線性表示. 從而可由線性表示.證法二: 線性相關(guān)222。 (4) 。(3)若且, 則.(1)不對(duì). 反例:,但.(2)不對(duì). 反例: 設(shè), 則且, 但.(3)不對(duì). 反例: 設(shè), 則有且, 但..:(1), (2), (3)(1)(2)(3), 證明及都可逆, 并求及.由得, 故可逆, 且.由也可得或, 故可逆, 且.(4)利用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)(2)(3)(4)可知.(5) (6), 求.解.求得,于是., 其中,求. 設(shè), (1) 證明。LSF,5/9/2007線性代數(shù)魏福義, 黃燕蘋主編?北京: 中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社, 2003. 2 (ISBN 7173。 (2) 設(shè)，證明(1) (2) 計(jì)算下列行列式(1) (2) (3) (4) (5) (6)(1) (2)(3) (4) (5) (6) 證明下列等式(1) =(a－b)3(2) = (1－x2)(3) = [x+(n－1)a](x－a) n1(1) (2)證法二 (3)= 用克拉默法則解下列方程組:(1) (2) (1) 計(jì)算得因?yàn)橄禂?shù)行列式, 所以方程組有唯一解.(2) 計(jì)算得因?yàn)橄禂?shù)行列式, 所以方程組有唯一解. 求下列方陣的逆陣(1) 。(1)套用公式, 得.(2)套用上述公式, 得.(3)得 .(4)得 . ．解下列矩陣方程(1) (2)(3)(1)(2) (3) 設(shè)是階矩陣