【正文】 LSF,5/9/2007線性代數(shù)魏福義, 黃燕蘋主編?北京: 中國農(nóng)業(yè)出版社, 2003. 2 (ISBN 7173。109080587)習(xí)題解(缺習(xí)題六題解)06學(xué)年第二學(xué)期復(fù)習(xí)題:習(xí)題一: 4, 5, 6, 7(4), 10, 11, 13, 14, 15(1), 16(3)(4), 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29習(xí)題二: 1(3), 2(2), 3(3), 4, 5(3), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12習(xí)題三: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16習(xí)題四: 1(2)(3), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10(1)(2), 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17習(xí)題五: 1(2), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17習(xí)題七:自己挑選一些題, 寫出matlab語句. .這是題文這是題解這是注釋習(xí)題一 設(shè) ,求及. 計算下列乘積(1) (2) (3) (4) (5) (1)(2)(3) (4) (5) 設(shè), 問下列各式是否成立?(1)(2)(3)(4)(1) (2) (3)(4) :(1)若, 則。(2)若, 則或。(3)若且, 則.(1)不對. 反例:,但.(2)不對. 反例: 設(shè), 則且, 但.(3)不對. 反例: 設(shè), 則有且, 但..:(1), (2), (3)(1)(2)(3), 證明及都可逆, 并求及.由得, 故可逆, 且.由也可得或, 故可逆, 且.(4)利用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1)(2)(3)(4)可知.(5) (6), 求.解.求得,于是., 其中,求. 設(shè), (1) 證明。 (2) 設(shè)，證明(1) (2) 計算下列行列式(1) (2) (3) (4) (5) (6)(1) (2)(3) (4) (5) (6) 證明下列等式(1) =(a－b)3(2) = (1－x2)(3) = [x+(n－1)a](x－a) n1(1) (2)證法二 (3)= 用克拉默法則解下列方程組:(1) (2) (1) 計算得因為系數(shù)行列式, 所以方程組有唯一解.(2) 計算得因為系數(shù)行列式, 所以方程組有唯一解. 求下列方陣的逆陣(1) 。 (2) 。(3) 。 (4) 。(1)套用公式, 得.(2)套用上述公式, 得.(3)得 .(4)得 . ．解下列矩陣方程(1) (2)(3)(1)(2) (3) 設(shè)是階矩陣, 為其轉(zhuǎn)置伴隨矩陣, 證明:(1)若, 則(2) .(1)設(shè),則. 如果的第一行元素全為零, 則, 于是. 假設(shè)的第一行元素不全為零, 例如, 作如下行初等變換, 得.現(xiàn), 因此.(2)一般地, , 但. 于是. 從而, 若, 立刻得到. 而若, 由(1)知仍成立. 設(shè), 利用分塊矩陣的乘法, 計算. 若, 證明: .. (選擇題) 設(shè)A, B為n階方陣, 則成立.(A) (B)(C) (D)(A)的反例: , 除非.(B)的反例: 若, 則.(D)的反例: .(C)是成立的, 因為., 求.或 設(shè)為階方陣, 求證可逆, 并寫出逆矩陣的表達式.\可逆, 且.,其中可逆,求. 設(shè)A為m階方陣, B為n階方陣, detA = a, detB = b, C =, 求detC.利用拉普拉斯定理:()在n階行列式中任取k行(列), 則由這k行(列)的元所組成的所有的k階子式與它的代數(shù)余子式的乘積之和, 等于行列式的值.在中取所在的行, 所得的階子式只有一個不等于零, 就是. 而的余子式是, 代數(shù)余子式是, 其中注意到是偶數(shù). 于是.,求.注:矩陣或不要用行列式符號:利用第24題的結(jié)論 計算下列n階行列式(1) (2) (3) (1)同第14(3)題.(2)(2)按第一列展開(3),求.注:.(可逆)矩陣,其轉(zhuǎn)置伴隨陣為(或),求或 習(xí)題二 討論下列向量組的線性相關(guān)性(1) (2) (3) (4) (1) 可見, 故向量組線性相關(guān).(2) 可見, 故向量組線性無關(guān).(3) 可見, 故向量組線性相關(guān).(4)可見, 故向量組線性相關(guān).解法二 現(xiàn)有個維, , 所以給出的向量組線性相關(guān). 任意個維向量線性相關(guān). 求下列矩陣的秩(1) (2) (3)(1) 可見秩.(2) 可見秩.或(3) 求解下列齊次線性方程組(1) 。 (2) (3)(1) 對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換得簡化行階梯形(Reduced row echelon form, RREF). 對應(yīng)的同解方程組為,方程組的解為.(2) 對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換, 方程組有唯一零解.(3) 對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換得 求一個齊次線性方程組使他的基礎(chǔ)解系為由題意, 齊次線性方程組的通解為,或.從中消去, 得即為所求.解法二: 設(shè)所求的齊次線性方程組為將分別代入方程組, 得,解方程組(1), 得其中一個解. 解方程組(2), 得其中一個解. 從而得一個滿足要求的方程組 求下列非齊次線性方程組的通解(1) (2) (3)(1) 對方程組的增廣矩陣作行初等變換, 將之化為簡化行階梯形立刻得到方程組的解(2) 對方程組的增廣矩陣作行初等變換, 將之化為簡化行階梯形,立刻得到方程組的解(3) 對方程組的增廣矩陣作行初等變換因為, 所以方程組無解.,. 線性無關(guān)222。線性無關(guān). 線性相關(guān)222?？捎删€性表示. 從而可由線性表示.證法二: 線性相關(guān)222。線性相關(guān). 線性無關(guān)222。可由線性表示.注意: “Q線性無關(guān), \存在全為0的,使得.”這個說法是有問題的, 因為不管是否相關(guān),這些總是存在的!當(dāng)?shù)扔诤沃禃r, (1)方程組有唯一解。 (2)無解。 (3)有無窮多解. 并求此時方程組的通解..(1)時方程組有唯一解.(2) 時, . 無解(2) 時, , 有無窮多解. 設(shè)(1)當(dāng)為何值時, 向量組線性相關(guān).(2)當(dāng)為何值時, 向量組線性無關(guān).(3)當(dāng)線性相關(guān)時, 將表示為的線性組合.(1)當(dāng)時,線性相關(guān)。(2)當(dāng)時,線性無關(guān).(3)現(xiàn). 設(shè)可表示為的線性組合:, 即.則有線性方程組,或.,得. 于是.的解都是的線性組合.方程組與是同解方程組, 它們的基礎(chǔ)解系相同, 從而它們的系數(shù)矩陣的秩相同, 即向量組和向量組有相同的秩:.設(shè)是的一個極大無關(guān)組, 則是向量組中的個向量, 因而是線性相關(guān)的. 所以可由線性表示, 從