【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 程組的增廣矩陣．因?yàn)?，所以方程組有唯一解，且解為．21．設(shè)三元非齊次線性方程組，矩陣的秩為2，且,是方程組的兩個(gè)特解，試求此方程組的全部解．解 由已知得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量，設(shè)為，則可?。苑匠探M的通解為，其中為任意常數(shù)．22．設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，求證也是的基礎(chǔ)解系．證 顯然是的解，只需證明它們線性無關(guān)．． 由，得 ，所以線性無關(guān)．23．設(shè)是階方陣．證明：存在一個(gè)階非零矩陣，使的充要條件是．證 存在，使得有非零解．24．設(shè)是階方陣，為矩陣，且．證明： （1）若，則； （2）若，則．證 （1），則．又． （2）．由（１）得．（B）1．設(shè)向量組線性相關(guān)，而線性無關(guān)，問： （1）能否由線性表示？為什么？ （2）能否由線性表示？為什么？解 （1）線性無關(guān)，則線性無關(guān)；又線性相關(guān)，則可由線性表示；所以可由線性表示． （2）若可由線性表示，又可由線性表示，則可由線性表示，有線性相關(guān)，矛盾，所以不能由線性表示．2．若向量組，其中的第個(gè)分量為，余皆為．試討論該向量組的線性相關(guān)性．解 ． 當(dāng)且時(shí)，向量組線性無關(guān)； 當(dāng)或時(shí)，向量組線性相關(guān)．3．設(shè)向量組線性無關(guān)，，…，試討論的線性相關(guān)性．若向量組線性相關(guān)呢？解 ，且． （1）若線性無關(guān)，則 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)線性相關(guān)； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，此時(shí)線性無關(guān)． （2）若線性相關(guān)，則，此時(shí)線性相關(guān)．4．設(shè)為維非零向量，為階方陣，若 ，試證明線性無關(guān)．證 設(shè)． 該式兩邊左乘以，得依此類推，得．由，得． 同理可證．所以線性無關(guān)．5．設(shè)，其中為3階方陣，為3維向量，且，證明線性無關(guān)．證 設(shè)． （1） （1）式兩邊左乘以，得． （2） （2）減去（1），得． （3） （3）式兩邊左乘以，得． （4） （4）減去（3），得．因?yàn)?，所以?代入（３），得，所以．代入（1），得，所以． 所以線性無關(guān)．6．設(shè)為階方陣，為維列向量．證明：若存在正整數(shù)，使，而，則線性無關(guān)．證 設(shè)，該式兩邊左乘以，得．因?yàn)?，所以?同理可證．所以線性無關(guān)．7．設(shè)向量組的秩與向量組相同，且組可由組線性表示，證明組與組等價(jià)．證 設(shè)，為組的一個(gè)極大無關(guān)組，為組的一個(gè)極大無關(guān)組．由組可由組線性表示，得.又，則，即為可逆矩陣，有，即可由線性表示，．8．設(shè)向量組：線性無關(guān)，向量組：能由線性表示為 ，其中，證明：向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹龋C 向量組線性無關(guān)只有零解 只有零解　 　 　 　 　 　 只有零解．9．設(shè)都是矩陣，試證明：．證 先證．顯然的列向量組可由的列向量組和的列向量組線性表示，則．此證．設(shè)，與分別為與的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，則的列向量組可由與線性表示，有，即．10．設(shè)是的一組基，，． （1）證明是的一組基； （2）求由基到基的過渡矩陣； （3）若向量在基下的坐標(biāo)為，求向量在基下的坐標(biāo)．證 ．　　　　　　　　　　　　　　?。ǎ保ǎ保┯桑?，則線性無關(guān)，所以是的一組基．（2）由（１）式，得由基到基的過渡矩陣．（3）在基下的坐標(biāo)．11．當(dāng)為何值時(shí)，齊次線性方程組只有零解？有非零解？在方程組有非零解時(shí)，求其全部解．解 方程組的系數(shù)行列式．當(dāng)，即時(shí)只有零解.當(dāng)，即時(shí)有非零解，且通解為，其中為任意常數(shù)．12．設(shè)是的三個(gè)特解，則（　?。┮彩堑慕猓ˋ）；　　　 （B），；（C）；　　　　?。―)．解 B．實(shí)質(zhì)上，一般地有：若為的解，則也是的解．13．考慮線性方程組問取什么值時(shí)有解？當(dāng)有解時(shí)，求它的通解．解 方程組的增廣矩陣，則當(dāng)時(shí)方程組有解，且，所以方程組的通解為，其中為任意常數(shù)14．設(shè)矩陣，其中線性無關(guān)，且．向量．試求方程組的通解．解 由線性無關(guān)，且，得是的一個(gè)極大無關(guān)組，則，即，從而的基礎(chǔ)解系含個(gè)線性無關(guān)的解向量，設(shè)為．由，得，則是的解，故可?。?，得是的一個(gè)特解．所以的通解為，其中為任意常數(shù)．15．設(shè)為矩陣，為矩陣，且．求證： （1）的各列向量是齊次線性方程組的解； （2）若，則； （3）若，則的各列向量線性相關(guān)．證 （1）令．由，得，即，所以的各列向量是齊次線性方程組的解．（2）若，則只有零解，所以．（3）若，則有非零解，所以的各列向量線性相關(guān)．16．設(shè)為階方陣（），證明： （1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，； （3）當(dāng)時(shí)，．證 （1）當(dāng)時(shí)，所以．（2）當(dāng)時(shí)，由，得有．又中至少有一個(gè)階子式不為零，則，所以．（3）當(dāng)時(shí)，則中所有一個(gè)階子式全為零，有．習(xí) 題 五(A)1．求下列矩陣的特征值和特征向量：（1）．解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得，令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量，全部特征向量為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．，得，令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為．（2） ．解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．，得令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為．（3） ．解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得，令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為不全為零）．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于的線性無關(guān)的特征向量是，全部特征向量為．（4） ．解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為．（5） ．解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為．（6）．解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為不全為0．當(dāng)時(shí)，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為．2． 已知矩陣的特征值為，求的值． 解 由，得，則．3． 已知矩陣 的特征值為，求x的值．解 ．由，得，解得．4． 已知三階方陣的三個(gè)特征值分別為，矩陣．求矩陣的特征值及的行列式．解 令，則的特征值分別為，且．5．已知3階矩陣的特征值為，求及的伴隨矩陣的特征值．解 令，則的特征值為．又，則特征值為．6．設(shè)，求： （1）的特征值與特征向量；?。?）的特征值；?。?）的特征值．解 （1）的特征多項(xiàng)式，則的特征值為；屬于特征值全部特征向量為，、不全為0；屬于特征值全部特征向量為，．（2），則的特征值為．（3）令，則的特征值為，．7．設(shè)矩陣滿足等式，試證明的特征值只能取值或4．解 設(shè)為的特征值．由，得滿足，解得或．8．設(shè)方陣滿足，其中是的轉(zhuǎn)置矩陣，為單位陣．試證明的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值的模等于1．解 設(shè)為的實(shí)特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為，則．由，得，即，有．又，則，所以．9．已知，且與相似，求常數(shù)．解 顯然的特征值為．與相似，則的特征值為．由，解得．10．已知矩陣與矩陣相似，求常數(shù)與．解 與相似，則． （1）又，由，得，代入（1）式，得．所以．11． 設(shè)矩陣．問為何值時(shí)，矩陣可相似對(duì)角化．解 顯然的特征值為．對(duì)，可相似對(duì)角化．由，得．12．已知是矩陣的特征向量． （1）求參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值； （2）問能否相似對(duì)角化？并說明理由．解 （1），得.（2）的特征多項(xiàng)式 ，則的特征值為．所以能相似對(duì)角化，即．顯然，所以不能相似對(duì)角化.13．判斷下列矩陣是否與對(duì)角矩陣相似；若與對(duì)角矩陣相似，求一個(gè)可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣．（1）．解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為．當(dāng)時(shí)，解方程組．由，得，所以不能與對(duì)角矩陣相似．（2）．解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為．當(dāng)時(shí)，解方程組．由，得，所以與對(duì)角矩陣相似，且．令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為．當(dāng)時(shí)，解方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為．令，則．（3）．解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為．當(dāng)時(shí)，解方程組．由，得，所以與對(duì)角矩陣相似，且．令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為．當(dāng)時(shí)，解方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為．令，則．14．設(shè)矩陣．求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣，并計(jì)算，其中為正整數(shù)．解 的特征多項(xiàng)式，則的特征值為．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為．