【正文】 特征值的線性無關(guān)的特征向量為．令，則．且．又，所以．15．設(shè)3階方陣有特征值，對應(yīng)特征向量依次為，求．解 有3個不同的特征值，則能相似對角化．令，則，有．又，所以．16．設(shè)矩陣與相似，試證：（1）與相似；　?。?）當可逆時，與相似．證 與相似，則存在可逆矩陣，使得．（1）．因為也可逆，所以與相似．（2），所以與相似．17．設(shè)向量，求的長度及它們的夾角．解 ,，．18．已知三元向量，試求一個非零向量，使為正交向量組． 解 顯然正交．令，要使為正交向量組，只需由，得取，得．19．已知向量，試求與向量都正交的向量．解 設(shè)，依題意，得由，得令，所以，其中、為任意常數(shù)．：（1）．解 正交化，得，．單位化，得，．（2）．解 正交化，得，．單位化，得,．21．試求一個正交矩陣，使為對角陣：（1）．解 的特征多項式，則的特征值為．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得．令正交矩陣，則．（2）．解 的特征多項式，則的特征值為．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；顯然正交，單位化，得．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得．令正交矩陣，則．（3）．解 的特征多項式，則的特征值為．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；正交化，得；單位化，得．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得．令正交矩陣，則．（4）．解 的特征多項式，則的特征值為．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；正交化，得；單位化，得．屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為；單位化，得．令正交矩陣，則．22．設(shè)3階實對稱矩陣的特征值為3，與特征值6對應(yīng)的特征向量為，求與特征值3對應(yīng)的特征向量．解 設(shè)為屬于特征值3的特向量，有，即，其基礎(chǔ)解系為 ．所以屬于特征值3的特征向量為，、不全為0．23．設(shè)三階實對稱矩陣的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，求．解 設(shè)對應(yīng)的特征向量為，有．所以屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為．令，則．所以．24．設(shè)三階實對稱矩陣的秩為2，是的二重特征值．若，,都是的屬于特征值6的特征向量． （1）求的另一特征值和對應(yīng)的特征向量； （2）求矩陣．解 （1）因為是的二重特征值，故的屬于特征值6的線性無關(guān)的特征向量有2個．由題設(shè)知，為的屬于特征值6的線性無關(guān)特征向量．又的秩為2，于是，所以的另一特征值．設(shè)所對應(yīng)的特征向量為，則有，即 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于特征值全部特征向量為，．（2） 令矩陣，則，所以．25．設(shè)都是階實對稱矩陣，證明與相似的充要條件是與有相同的特征值．證 必要性：與相似，則存在可逆陣，使得．有，所以與有相同的特征多項式，即有相同的特征值．充分性：若實對稱矩陣與有相同的特征值，設(shè)為它們的特征值．令．則與相似，與相似，所以與相似．（B）一、選擇題：1．設(shè)，則以下向量中是A的特征向量的是（ ）． （A） （B） （C） （D）解 當時，有．選（A）．2．設(shè)為階方陣，且（為某一正整數(shù)），則（ ）．　　(A) (B)有一個不為零的特征值 (C)的特征值全為零 (D)有個線性無關(guān)的特征向量解 設(shè)為的特征值，則，有．選（C）．3．設(shè)為階矩陣，且與相似，則（ ）． （A） （B）與有相同的特征值與特征向量 （C）與都相似于對角矩陣 （D）對于任意常數(shù)，相似解 由與相似，知存在可逆陣，使，由此，故與相似．選（D）．4．設(shè)，且的特征值為，則（ ）．(A) (B)3 (C)4 (D)解 由，得．選（C）．5．設(shè)為階可逆陣，為的一個特征值，則的伴隨陣的一個特征值是（ ）．(A) (B) (C) (D)解 選（B）．6．設(shè)為階方陣，以下結(jié)論中成立的是（ ）． （A）若可逆，則矩陣的屬于特征值的特征向量也是矩陣的屬于特征值的特征向量． （B）的特征向量為方程的全部解． （C）的特征向量的線性組合仍為特征向量． （D）與有相同的特征向量．解 選（A）．7．當滿足( )時，方陣與相似． (A)且 (B)或 (C) (D)解 選（A）．8．設(shè)是階實對稱矩陣，是階可逆矩陣．已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是（ ）． （A） （B） （C） （D）解 由于，即矩陣屬于特征值的特征向量為．選（B）．9．設(shè)是可逆矩陣的一個特征值，則矩陣有一個特征值等于（ ）． （A） （B） （C） （D）解 有特征值．選（B）．10．設(shè)，且的特征值為，則有（ ）． (A) (B) (C) (D)解 選（B）．11．如果階矩陣任意一行的元素之和都是，那么有一個特征值（ ）．（A） （B） （C）0 （D）解 取，有．選（A）．12．若階矩陣的特征值全為零，則不正確的結(jié)論是（ ）． （A） （B） （C） （D）解 取，但的特征值全為零，而．選（C）．13．已知（為非零向量），為可逆矩陣，則（ ）．（A）的特征值為，其對應(yīng)的特征向量為（B）的特征值為，其對應(yīng)的特征向量為（C）的特征值為，其對應(yīng)的特征向量為（D）的特征值為，其對應(yīng)的特征向量為解 由, 得，故是P1AP的特征值，其對應(yīng)的特征向量為．選（D）．14．設(shè)，且的特征值為，則的值為（ ）．（A）2 （B） （C）4 （D）解 ，得．選（B）．15．已知矩陣有一個特征向量，則等于（ ）．(A) (B) (C) (D)解 由＝，得 ，．選（B）．16．設(shè)矩陣與相似，則（ ）．（A） （B） （C） （D）解 選（B）．17．設(shè)是矩陣的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）．(A) (B) (C) (D)解 由于，則，線性無關(guān)，即．選(B)．18．設(shè)為3階矩陣，的特征值為，那么齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為（ ）．(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解 注意，則的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于的屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)．選(B)．19．設(shè)3階矩陣的特征值互不相同，若行列式，則的秩為（ ）．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解 注意：若與對角陣，則中不為零的個數(shù)． 由3階矩陣的特征值互不相同，且行列式，知只有一個特征值等于零，則．選（C）．20．設(shè)是4階實對稱矩陣，且。若，則相似于（ ）． (A) (B) (C) (D)解 設(shè)為的特征值，由，得，所以的特征值只能是或．是4階實對稱矩陣，知能相似對角化；，知有3個不為零的特征值；所以的特征值為．選（D）．二、計算題：1．設(shè)，其中為三階可逆矩陣，求．解 ．又,所以．2. 設(shè)矩陣，已知有三個線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根．（1）求；　　（2）求可逆矩陣，使得為對角矩陣．解 （1）因為有三個線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根，所以．由，得．（2），其特征多項式，得的特征值為．屬于的線性無關(guān)的特征向量為．屬于的線性無關(guān)的特征向量為．令，則．3. 設(shè)矩陣．（1）求的特征值；（2）利用(1)中結(jié)果求的特征值，其中為三階單位矩陣．解 （1）的特征多項式，得的特征值為．（2）令，得的特征值為．4．設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量，求和應(yīng)滿足的條件．解 的特征多項式．（1）當時，A有3個不同的特征值，從而必有3個線性無關(guān)特征向量．（2）當時，A有特征值．對于要有二個線性無關(guān)的特征向量，則有．由，得．綜上，當時或時，有三個線性無關(guān)的特征向量．5．設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足．（1）證明線性無關(guān)； （2）令，求．證 （1）設(shè)， （1） （1）式兩邊左乘以，得．　　　　　　　　　?。?） （1）（2），得．顯然線性無關(guān)，則．代入（１），得，有，所以線性無關(guān)． （2） ，即．由第一部分知可逆，所以．6．設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和都為3，向量都是齊次線性方程組的解．（1）求的特征值和特征向量；（2）求正交矩陣和對角矩陣，使得．解 （1）的各行元素之和都為，則有特征值，且是其對應(yīng)的特征向量．又，且線性無關(guān)，知有特征值，