【正文】 且是其對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量．因此，有 的特征值為．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為． （2）將正交單位化，得，；將單位化，得． 令正交矩陣，有．7．已知矩陣與相似． （1）求之值；　　 （2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣；　　（3）求．解 （1）與相似，則，即．將代入有，將代入有． （2）顯然的特征值為． 屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為． 令，有． （3）．又，所以．8．設(shè)為2階矩陣，為線性無(wú)關(guān)的2維列向量，．求的特征值．解 ．線性無(wú)關(guān)，則可逆，有，即與相似．而的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，故的特征值為．9．設(shè)3階對(duì)稱矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量．記，其中為3階單位矩陣．（1）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（2）求矩陣．解 （1）設(shè)為的屬于特征值的特征向量，即，則，即為的特征值，為相應(yīng)的特征向量．所以是矩陣的特征向量． 令，則的特征值為． 的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，全部特征向量為． 設(shè)的屬于的特征向量為．為對(duì)稱矩陣，顯然也是對(duì)稱矩陣，則，方程組的基礎(chǔ)解系為，就是的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量，全部特征向量為不全為零． （2）令，有，所以．又，則．10．設(shè)向量都是非零向量，且滿足條件．記階矩陣，求：（1）； （2）矩陣的特征值和特征向量．解 （1）． （2）設(shè)為的任一特征值．由，得，有，即的特征值全為零．不妨設(shè)向量中分量，考慮齊次線性方程組．由，得基礎(chǔ)解系，即屬于特征值0的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù)．11．設(shè)4階方陣滿足條件．試求方陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值．解 由，得為的特征值． 由，得．又，則．所以有特征值．12．設(shè)．已知線性方程組有無(wú)窮多解，試求：（1）的值； （2）正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣．解 （1）對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行初等行變換：，方程組有無(wú)窮多解． （2），的特征多項(xiàng)式，得矩陣的特征值為．對(duì)應(yīng)的特征向量分別為．將單位化，得．令, 則有．13．設(shè)三階矩陣的三個(gè)特征值分別為，對(duì)應(yīng)特征向量依次為．（1）將用向量組線性表示；　?。?）求．解 （1）設(shè)．由，得，所以． （2） ．14．設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式有一個(gè)二重根，求的值，并討論是否可相似對(duì)角化．解 的特征多項(xiàng)式．（1）若是特征多項(xiàng)式的二重根，則，解得．此時(shí)的特征值為．對(duì)，由，得，所以可相似對(duì)角化．（2）若不是特征多項(xiàng)式的二重根，則，解得．此時(shí)的特征值為．對(duì)，由，得，所以不能相似對(duì)角化．15．某生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其它生產(chǎn)部門(mén)，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊．新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培養(yǎng)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工．設(shè)第年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記成向量．（1）求與的關(guān)系式，并寫(xiě)成矩陣形式；（2）驗(yàn)證，是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；（3）當(dāng)時(shí)，求． 解 （1）由題設(shè)，得即所以 ， （1）其中．（2）由，得是的屬于特征值的特征向量，是的屬于特征值的特征向量；又，所以,線性無(wú)關(guān)．（3）由（1）式，可得．由（2）知可相似對(duì)角化．令，有．所以． 又，有，從而．16．設(shè)矩陣．（1）k為何值時(shí)，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣？（2）求出和相應(yīng)的對(duì)角矩陣．解 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為． （1）對(duì)，由，得時(shí)，此時(shí)可相似對(duì)角化．（2）的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為．令，有．17．已知是的特征向量．（1）確定常數(shù)；（2）確定特征向量對(duì)應(yīng)的特征值；（3）能否相似對(duì)角化？并說(shuō)明理由．解 （1）設(shè)是的特征向量對(duì)應(yīng)的特征值．由，解得．（2），其特征多項(xiàng)式，所以對(duì)應(yīng)的特征值為． （3）對(duì)，由，的，所以不能相似對(duì)角化．18．設(shè)矩陣，．求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣，為3階單位矩陣．解 ．設(shè)的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，則有．于是有.，即為的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為．的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，．的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，．的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為．由，得，．令，則的特征值分別為，且對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為，其中是不全為零的常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為，．19．設(shè)，存在正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣．若的第一列為，求常數(shù)、正交矩陣及對(duì)角矩陣．解 由題意，得的第一列是的特征向量，即存在數(shù)，使得，解得．，其特征多項(xiàng)式，所以的特征值為．屬于的正交單位化的特征向量為；屬于的正交單位化的特征向量為；屬于的正交單位化的特征向量為．令正交矩陣，有．三、證明題：1．設(shè)均為階方陣，且．試證：有公共的特征向量．證 考慮方程組，其系數(shù)矩陣的秩，則方程組有非零解，即，故，即是的公共特征值，是屬于特征值的公共的特征向量．2．設(shè)是階方陣，且滿足．試證:．證 設(shè)．（1） 若，則，即，有．（2）若，則，即，有．（3）若，則的基礎(chǔ)解系就是的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量；又，則的基礎(chǔ)解系就是的屬于特征值1的線性無(wú)關(guān)特征向量；從而有個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量：，所以能相似對(duì)角化．令，有，則，所以．3．階矩陣滿足，證明不是的特征值．證 由，得，所以可逆，有，所以不是的特征值．習(xí) 題 六（A）1．寫(xiě)出下列二次型的矩陣．（1）．解 ．（2）．解 ．（3）．解 ．（4）解 ．2．已知二次型的秩為2，求．解 二次型的矩陣． 由，得，所以．3．用配方法將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的可逆線性變換．（1）．解　　 　 ，令即，得可逆線性變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．（2）．解 令即，代入二次型，再配方得 ．令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．所用的可逆線性變換為．（3）． 解 ．令即，得可逆線性變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．（4）． 解 ．令即，得可逆線性變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．4．用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換．（1）． 解 二次型，其矩陣． 的特征多項(xiàng)式，得的特征值為． 屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得． 屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；正交化，得；單位化，得． 令正交矩陣，得正交變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．（2）． 解 二次型的矩陣．的特征多項(xiàng)式，得的特征值為．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．令正交矩陣，得正交變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．（3）． 解 二次型的矩陣．的特征多項(xiàng)式，得的特征值為．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；正交化，得；單位化，得．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．令正交矩陣，得正交變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．（4）． 解 二次型的矩陣．的特征多項(xiàng)式，得的特征值為．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；正交化，得；單位化，得．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．令正交矩陣，得正交變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．5．判斷下列二次型的正定性．（1）． 解 二次型的矩陣，其各階主子式，所以該二次型為正定二次型．（2）． 解 二次型的矩陣，其各階主子式，所以該二次型為負(fù)定二次型．6．求的取值范圍，使二次型為正定　二次型． 解 二次型的矩陣，則正定，有，解得．7．判斷下列矩陣的正定性．（1）． 解 矩陣的各階主子式，所以該矩陣正定．（2）．解 矩陣的各階主子式，所以該矩陣負(fù)定．（B）1．證明：若矩陣正定，則矩陣的主對(duì)角線元素全大于零． 證 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣正定，則二次型正定．取，則．由的任意性，所以的主對(duì)角線元素全大于零．2．已知二次型的秩為2，求參數(shù)的值，并問(wèn)方程表示何種二次曲面． 解 二次型的矩陣．由，得，所以． 的特征多項(xiàng)式，得的特征值為．則存在正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．而方程在空間直角坐標(biāo)系下代表一橢圓柱面，所以是一橢圓柱面．3．判斷二次方程表示何種曲線． 解 考慮二次型，其矩陣． 的特征多項(xiàng)式，得的特征值為．則存在正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．而方程在平面直角坐標(biāo)系下代表橢圓曲線，所以方程表示橢圓曲線．4．求在條件下，二次型的最大值和達(dá)到最值的一個(gè)單位向量．（1）．解 二次型的矩陣．的特征多項(xiàng)式，得的特征值為．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．令正交矩陣，得正交變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．　　　　　　　　　　　　　　（1） 當(dāng)時(shí)，．顯然（1）式在，即處取到最大值為7．（2）．解 二次型的矩陣．的特征多項(xiàng)式，得的特征值為．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；顯然正交，單位化，得．屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量；單位化，得．令正交矩陣，得正交變換，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為． （1） 當(dāng)時(shí)，．顯然（1）式在，即處取到最大值為4． 104