【正文】 習 題 解 答習 題 一（A）1．用消元法解下列線性方程組：（1）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．（2）解 由原方程組得同解方程組所以方程組無解．（3）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為．（4）解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為．2．用初等行變換將下列矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣：（1）．解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：．（2）．解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：．（3）．解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：．（4）．解 ，得行階梯形：（不唯一）；行最簡形：．3．用初等行變換解下列線性方程組：（1）解 ，得方程組的解為．（2）解 ，得方程組無解．　 （3）解 ，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．（4）解 ，得方程組的解為令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．（B）1．當為何值時，線性方程組有無窮多解，并求解．解 ． 當時，方程組有無窮多解，且解為．令，得方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．BAC3．（聯(lián)合收入問題）已知三家公司A、B、C具有如下圖所示的股份關(guān)系，即A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外兩家公司控制等等． 3 現(xiàn)設(shè)A、B和C公司各自的營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．試確定各公司的聯(lián)合收入及實際收入．解 ，； ，；，.習 題 二（A）1．利用對角線法則計算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式．（4）．解 原式．（5）．解 原式．2．按定義計算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．3．利用行列式的性質(zhì)，計算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式．（4）．解 原式 ．（5），其中．解 原式．4．利用行列式展開定理，計算下列行列式：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式 ．（4）．解 將行列式按第一行展開，得，則，所以．5．利用行列式展開定理證明：當時，有．證 將行列式按第一行展開，得，則，所以． （1） 由關(guān)于與對稱，得．　　　　　　　　　　　　　　 （2） 由（1）與（2）解得．6．利用范德蒙德行列式計算行列式．解 原式．7．設(shè)，試求和．解 ； ．8．利用克拉默法則解下列線性方程組：（1）解 經(jīng)計算，得，所以方程組的解為．（2）解 經(jīng)計算，得，所以方程組的解為．9．試問取何值時，齊次線性方程組有非零解．解 方程組有非零解，則．又，所以．10．試問、取何值時，齊次線性方程組有非零解．解 方程組有非零解，則．又，所以或．（B）1．選擇題：（1）設(shè)，則( )．（A） （B） （C） （D） 解 原式．選（A）．（2）四階行列式的值等于（ ）．　?。ˋ） （B）（C） （D） 解 將行列式的第4行依次與第3行、第2行交換，再將行列式的第4列依次與第3列、第2列交換，得．選（D）．（3）設(shè)線性方程組若，則方程組的解為（ ）．　　（A） （B）　?。–） （D） 解 將方程組寫成標準形式：有，所以方程組的解為．選（C）．（4）方程=的根的個數(shù)為（ ）．（A） （B） （C） （D） 解 方法一：將按第1列展開，知為3次多項式，因此有3個根．選（C）． 方法二：有3個根．選（C）．2．計算四階行列式．解 ．3．計算四階行列式．解 ．4．計算階行列式．解 ．5．計算五階行列式．解 方法一：一般地，對于此類階行列式，將其按第一行展開，得，則，有 ，所以． 方法二：由習題二（A）的第5題，得當時，有，所以．6．計算階行列式．解 將行列式按第一行展開，得，則 ．7．已知1322745003874都能被13整除，不計算行列式的值，證明能被13整除．證 ．由已知，得后行列式的第4列具有公因子，所以原行列式能被13整除．8．證明:．證 構(gòu)造5階行列式，則． （1） 將按第5列展開，得 ． （2）比較（1）與（2）右邊的系數(shù)，知結(jié)論成立．9．證明：當時，齊次線性方程組有非零解．證 方程組的系數(shù)行列式，當，即時，方程組有非零解．10．應(yīng)用題：（1）1；（2）．習 題 三（A）1．下列矩陣中，哪些是對角矩陣、三角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣．，．解 是數(shù)量矩陣，也是對角矩陣；、是三角矩陣；都不是．2．設(shè)矩陣．（1）計算； （2）若滿足，求．解 （1）；（2）．3．設(shè)有3階方陣，且，求．解 　　　 ．4．計算下列矩陣的乘積：（1）．解 原式．（2）．解 原式．（3）．解 原式．（4）．解 原式．（5）．解 原式．（6）．解 原式．5．已知矩陣，．求：（1）與； （2）與.解 （1），；（2），．6．求與矩陣可交換的所有矩陣．解 設(shè)與可交換的矩陣．由，得令，得，其中為任意常數(shù)．7．利用歸納法，計算下列矩陣的次冪，其中為正整數(shù)：（1）．解 令，有則．（2）．解 令，有，則．（3）．解 令，有則．8．已知矩陣，令，求，其中為正整數(shù)．解 ．9．若為階對稱矩陣，為階矩陣，證明為對稱矩陣．證 因為，所以為對稱矩陣．10．利用公式法求下列矩陣的逆矩陣：（1）．解 ，又，所以．（2）．解 ，又，所以．（3）．解 ，又，所以．（4）．解 ，又，所以．11．解下列矩陣方程：（1）．解 ．（2）設(shè)，其中，．解 由，得．又，則可逆，且．經(jīng)計算，得．所以．（3）．解 ，則．12．設(shè)，且矩陣滿足，求矩陣．解 等式兩邊左乘以，得．又，上式兩邊右乘以，得，即，所以．13．設(shè)都是階矩陣，證明：可逆的充分必要條件是都可逆．證 可逆都可逆．14．設(shè)階方陣滿足，證明可逆，并求．證 由，得，即，所以可逆，且．15．設(shè)為階矩陣，且，證明及都是可逆矩陣．證 由，得及，所以及都是可逆矩陣．16．已知為三階方陣，且，求：（1）； （2）； （3）．解 （1）原式．（2）原式．（3），有原式．17．設(shè)，求．解 ，則．18．（1）設(shè)，證明．（2）設(shè)，且，求與．證 （1）． （2）由，得，且．又，所以．19．利用分塊矩陣計算下列矩陣的乘積：（1）．解 將矩陣進行如下分塊：，則原式．又，所以原式．（2）．解 將矩陣進行如下分塊：，則原式．20．利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣：（1）．解 將矩陣進行如下分塊：，則．又，所以．（2）．解 將矩陣進行如下分塊：，則．又，所以．（3）．解 將矩陣進行如下分塊：，則．又，所以．21．設(shè)矩陣，利用分塊矩陣計算．解 將矩陣進行如下分塊：，則．又，所以．22．設(shè)矩陣，利用分塊矩陣計算．解 將矩陣進行如下分塊：，則，所以．23．（1）設(shè)，且階矩陣和階矩陣均可逆，試證明．　?。?）設(shè)矩陣，其中為非零常數(shù)，求．證 （1）因為，所以可逆，且．（2）將矩陣進行如下分塊： ，則．又，所以．24．利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆；如可逆，求其逆矩陣．（1）．解 ．因為，所以不可逆．（2）．解 ，所以可逆，且．（3）．解 ，所以可逆，且．（4）．解 ，所以不可逆．25．利用矩陣的初等行變換解下列矩陣方程：（1）．解 ，所以．（2）．解 將方程兩邊轉(zhuǎn)置，得．由，得．26．求下列矩陣的秩：（1）．解 ，所以．（2）．解 ．（3）．解 ．（4）．解 ．27．設(shè)矩陣，且，求的值．解 ．由，得．28．設(shè)矩陣，問取何值時