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線性代數_胡覺亮_習題參考答案-免費閱讀

2024-07-23 21:06 上一頁面

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【正文】 習 題 解 答習 題 一(A)1.用消元法解下列線性方程組:(1)解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為令,得方程組的通解為,其中為任意常數.(2)解 由原方程組得同解方程組所以方程組無解.(3)解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為.(4)解 由原方程組得同解方程組得方程組的解為.2.用初等行變換將下列矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣:(1).解 ,得行階梯形:(不唯一);行最簡形:.(2).解 ,得行階梯形:(不唯一);行最簡形:.(3).解 ,得行階梯形:(不唯一);行最簡形:.(4).解 ,得行階梯形:(不唯一);行最簡形:.3.用初等行變換解下列線性方程組:(1)解 ,得方程組的解為.(2)解 ,得方程組無解.  (3)解 ,得方程組的解為令,得方程組的通解為,其中為任意常數.(4)解 ,得方程組的解為令,得方程組的通解為,其中為任意常數.(B)1.當為何值時,線性方程組有無窮多解,并求解.解 . 當時,方程組有無窮多解,且解為.令,得方程組的通解為,其中為任意常數.BAC3.(聯合收入問題)已知三家公司A、B、C具有如下圖所示的股份關系,即A公司掌握C公司50%的股份,C公司掌握A公司30%的股份,而A公司70%的股份不受另外兩家公司控制等等. 3 現設A、B和C公司各自的營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元,每家公司的聯合收入是其凈收入加上其它公司的股份按比例的提成收入.試確定各公司的聯合收入及實際收入.解 ,; ,;,.習 題 二(A)1.利用對角線法則計算下列行列式:(1).解 原式.(2).解 原式.(3).解 原式.(4).解 原式.(5).解 原式.2.按定義計算下列行列式:(1).解 原式.(2).解 原式.3.利用行列式的性質,計算下列行列式:(1).解 原式.(2).解 原式.(3).解 原式.(4).解 原式 .(5),其中.解 原式.4.利用行列式展開定理,計算下列行列式:(1).解 原式.(2).解 原式.(3).解 原式 .(4).解 將行列式按第一行展開,得,則,所以.5.利用行列式展開定理證明:當時,有.證 將行列式按第一行展開,得,則,所以. (1) 由關于與對稱,得.               (2) 由(1)與(2)解得.6.利用范德蒙德行列式計算行列式.解 原式.7.設,試求和.解 ; .8.利用克拉默法則解下列線性方程組:(1)解 經計算,得,所以方程組的解為.(2)解 經計算,得,所以方程組的解為.9.試問取何值時,齊次線性方程組有非零解.解 方程組有非零解,則.又,所以.10.試問、取何值時,齊次線性方程組有非零解.解 方程組有非零解,則.又,所以或.(B)1.選擇題:(1)設,則( ).(A) (B) (C) (D) 解 原式.選(A).(2)四階行列式的值等于( ). ?。ˋ) (B)(C) (D) 解 將行列式的第4行依次與第3行、第2行交換,再將行列式的第4列依次與第3列、第2列交換,得.選(D).(3)設線性方程組若,則方程組的解為( ). ?。ˋ) (B)  (C) (D) 解 將方程組寫成標準形式:有,所以方程組的解為.選(C).(4)方程=的根的個數為( ).(A) (B) (C) (D) 解 方法一:將按第1列展開,知為3次多項式,因此有3個根.選(C). 方法二:有3個根.選(C).2.計算四階行列式.解 .3.計算四階行列式.解 .4.計算階行列式.解 .5.計算五階行列式.解 方法一:一般地,對于此類階行列式,將其按第一行展開,得,則,有 ,所以. 方法二:由習題二(A)的第5題,得當時,有,所以.6.計算階行列式.解 將行列式按第一行展開,得,則 .7.已知1322745003874都能被13整除,不計算行列式的值,證明能被13整除.證 .由已知,得后行列式的第4列具有公因子,所以原行列式能被13整除.8.證明:.證 構造5階行列式,則. (1) 將按第5列展開,得 . (2)比較(1)與(2)右邊的系數,知結論成立.9.證明:當時,齊次線性方程組有非零解.證 方程組的系數行列式,當,即時,方程組有非零解.10.應用題:(1)1;(2).習 題 三(A)1.下列矩陣中,哪些是對角矩陣、三角矩陣、數量矩陣、單位矩陣.,.解 是數量矩陣,也是對角矩陣;、是三角矩陣;都不是.2.設矩陣.(1)計算; (2)若滿足,求.解 (1);(2).3.設有3階方陣,且,求.解     .4.計算下列矩陣的乘積:(1).解 原式.(2).解 原式.(3).解 原式.(4).解 原式.(5).解 原式.(6).解 原式.5.已知矩陣,.求:(1)與; (2)與.解 (1),;(2),.6.求與矩陣可交換的所有矩陣.解 設與可交換的矩陣.由,得令,得,其中為任意常數.7.利用歸納法,計算下列矩陣的次冪,其中為正整數:(1).解 令,有則.(2).解 令,有,則.(3).解 令,有則.8.已知矩陣,令,求,其中為正整數.解 .9.若為階對稱矩陣,為階矩陣,證明為對稱矩陣.證 因為,所以為對稱矩陣.10.利用公式法求下列矩陣的逆矩陣:(1).解 ,又,所以.(2).解 ,又,所以.(3).解 ,又,所以.(4).解 ,又,所以.11.解下列矩陣方程:(1).解 .(2)設,其中,.解 由,得.又,則可逆,且.經計算,得.所以.(3).解 ,則.12.設,且矩陣滿足,求矩陣.解 等式兩邊左乘以,得.又,上式兩邊右乘以,得,即,所以.13.設都是階矩陣,證明:可逆的充分必要條件是都可逆.證 可逆都可逆.14.設階方陣滿足,證明可逆,并求.證 由,得,即,所以可逆,且.15.設為階矩陣,且,證明及都是可逆矩陣.證 由,得及,所以及都是可逆矩陣.16.已知為三階方陣,且,求:(1); (2); (3).解 (1)原式.(2)原式.(3),有原式.17.設,求.解 ,則.18.(1)設,證明.(2)設,且,求與.證 (1). (2)由,得,且.又,所以.19.利用分塊矩陣計算下列矩陣的乘積:(1).解 將矩陣進行如下分塊:,則原式.又,所以原式.(2).解 將矩陣進行如下分塊:,則原式.20.利用分塊矩陣求下列矩陣的逆矩陣:(1).解 將矩陣進行如下分塊:,則.又,所以.(2).解 將矩陣進行如下分塊:,則.又,所以.(3).解 將矩陣進行如下分塊:,則.又,所以.21.設矩陣,利用分塊矩陣計算.解 將矩陣進行如下分塊:,則.又,所以.22.設矩陣,利用分塊矩陣計算.解 將矩陣進行如下分塊:,則,所以.23.(1)設,且階矩陣和階矩陣均可逆,試證明. ?。?)設矩陣,其中為非零常數,求.證 (1)因為,所以可逆,且.(2)將矩陣進行如下分塊: ,則.又,所以.24.利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆;如可逆,求其逆矩陣.(1).解 .因為,所以不可逆.(2).解 ,所以可逆,且.(3).解 ,所以可逆,且.(4).解 ,所以不可逆.25.利用矩陣的初等行變換解下列矩陣方程:(1).解 ,所以.(2).解 將方程兩邊轉置,得.由,得.26.求下列矩陣的秩:(1).解 ,所以.(2).解 .(3).解 .(4).解 .27.設矩陣,且,求的值.解 .由,得.28.設矩陣,問取何值時
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