山東建筑大學線性代數(shù)作業(yè)答案-wenkub.com
2025-05-28 12:13 本頁面
【正文】 解：, ， 故為負定． (2) .解：，, ,． 故為正定．, 證明為正定二次型.證明：因為所以A 對稱. 對于由于U 為可逆矩陣，有否則，若則必有矛盾. 所以當所以為正定二次型。 ， 單位化得 當時,由. 解得. . ．17. 設, 求解 由 , 得A的特征值為l1=1, l2=5, l3=5. 對于l1=1, 解方程(AE)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 對于l1=5, 解方程(A5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 對于l1=5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, 2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 則 P1AP=diag(1, 5, 5)=L, A=PLP1, A100=PL100P1. 因為 L100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 18. 用矩陣記號表示下列二次型:(1)。2180。16. 設，求一個矩陣，使，且.解 由于,所以可設. 則由 可得, , 解此非齊次線性方程組可得唯一解， 故所求矩陣．17. 設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且，求該方程組的通解。由不全為零,知不全為零,即線性相關.(2) 若線性無關, 則 由 知此齊次方程存在非零解. 則線性相關.綜合得證.4. 設,且向量組線性無關,證明向量組線性無關.證明 設則因向量組線性無關,故 因為 故方程組只有零解.則. 所以線性無關5. 設向量組線性無關，向量可由向量組線性表示，:個向量必線性無關.證明6. 當為何值時，向量組，線性相關.解 由所以當時，所以.7. CCBC8. (1).線性相關；(2).；(3).線性相關；(4).線性無關。min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1, 所以R(A)=1. 四、設階矩陣和滿足條件：． ⑴ 證明：是可逆矩陣，其中是階單位． ⑵ 已知矩陣，求矩陣． 解： ⑴ 由等式，得，即因此矩陣可逆，而且． ⑵ 由⑴知，即 五、 當、為何值時，線性方程組有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時的通解． 解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣： 所以，⑴ 當時，此時線性方程組有唯一解． ⑵ 當，時，此時線性方程組無解． ⑶ 當，時，此時線性方程組有無窮多組解． 此時，原線性方程組化為因此，原線性方程組的通解為或者寫為第四章 向量組的線性相關性1．設, 求及.解 2. 設其中, ,求.解 由整理得3．設,證明向量組線性相關.證明 設有使得則(1) 若線性相關,則存在不全為零的數(shù),。10時, 方程組有唯一解.要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 即必須(1l)(10l)=0且(1l)(4l)185。(5). )~(下一步: r13r2, r3r2, r4r2. ) ~. 2. 利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆：⑴ 解~~~~, 故逆矩陣為. (2) 解 ~~ ~~ ~故逆矩陣為.3. 設, , 求X使AX=B. 解 因為 , 所以 .4. 求作一個秩是4的方陣，使它的兩個行向量.解 用已知向量容易構成一個有4個非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量.5. 求下列矩陣的秩,并求一個最高階非零子式.⑴ 解 (下一步: r1171。解 由于所給矩陣方程中含有及其伴隨矩陣，因此仍從公式=著手。（３）若,且, 則.解 (1) 取, ,但(2) 取, ,但且(3) 取, , . 且 但.9﹑已知線性變換求從變量到變量的線性變換。解 由已知 所以有 2﹑設求及.解 .3﹑計算；⑴ 解：.⑵ 解：。線性代數(shù)第一章 行列式：（1）（2），求下列各排列的逆序數(shù)：（1）2 4 1 3；（2）1 3 … 2 4 … ；（3）1 3 … … 2.解（1）逆序數(shù)為3. （2）逆序數(shù)為.（3）逆序數(shù)為..解 由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數(shù)．由于已固定，只能形如□□，或和為所求.：解(1)
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