山東建筑大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)答案(編輯修改稿)
2025-06-27 12:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 又與等價, 故, 即, 從而選 (D). 二、填空題（1） 設(shè)三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則 .【分析】 先化簡分解出矩陣B，再取行列式即可.【詳解】 由知， ，即 ，易知矩陣A+E可逆，于是有 再兩邊取行列式，得 ，因為 , 所以 .（2）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進(jìn)行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ，而 ，故所求行列式為（3） 設(shè)，其中為三階可逆矩陣, 則 ?。痉治觥?將的冪次轉(zhuǎn)化為的冪次, 并注意到為對角矩陣即得答案.【詳解】因為, .故, .（4）已知矩陣，且的秩，則_3___．（5）已知線性方程組有解，則___1__．三. 證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, , 0)Q1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因為a與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)179。1. 因為 1163。R(A)=R(abT)163。min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1, 所以R(A)=1. 四、設(shè)階矩陣和滿足條件：． ⑴ 證明：是可逆矩陣，其中是階單位． ⑵ 已知矩陣，求矩陣． 解： ⑴ 由等式，得，即因此矩陣可逆，而且． ⑵ 由⑴知，即 五、 當(dāng)、為何值時，線性方程組有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時的通解． 解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣： 所以，⑴ 當(dāng)時，此時線性方程組有唯一解． ⑵ 當(dāng)，時，，此時線性方程組無解． ⑶ 當(dāng)，時，此時線性方程組有無窮多組解． 此時，原線性方程組化為因此，原線性方程組的通解為或者寫為第四章 向量組的線性相關(guān)性1．設(shè), 求及.解 2. 設(shè)其中, ,求.解 由整理得3．設(shè),證明向量組線性相關(guān).證明 設(shè)有使得則(1) 若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),。 。 。 。由不全為零,知不全為零,即線性相關(guān).(2) 若線性無關(guān), 則 由 知此齊次方程存在非零解. 則線性相關(guān).綜合得證.4. 設(shè),且向量組線性無關(guān),證明向量組線性無關(guān).證明 設(shè)則因向量組線性無關(guān),故 因為 故方程組只有零解.則. 所以線性無關(guān)5. 設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由向量組線性表示，:個向量必線性無關(guān).證明6. 當(dāng)為何值時，向量組，線性相關(guān).解 由所以當(dāng)時，所以.7. CCBC8. (1).線性相關(guān)；(2).；(3).線性相關(guān)；(4).線性無關(guān)。9. 求下列向量組的秩，并求一個最大無關(guān)組： 解 線性相關(guān).由秩為2,一組最大線性無關(guān)組為.10. 利用初等變換求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.解 所以第3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組。11. 已知向量組，與向量組，具有相同的秩，且可由向量組線性表示，求的值.解 因為線性無關(guān)，而，所以線性相關(guān)，且向量組的秩為2，故可由線性表示，即線性相關(guān).于是有 ，解得，另外，解得.故 ，.12. DC13. 由 所生成的向量空間記作 ，由所生成的向量空間記作 ，試證: .證明 設(shè), 任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成已知數(shù),把看成未知數(shù) 有唯一解同理可證: () 故14. 驗證為的一個基，并把，用這個基表示.解 由于即矩陣的秩為3. 故線性無關(guān)，則為的一個基.設(shè)，則 故設(shè)，則 故線性表示為 15. 求下面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解. 解 (1)所以原方程組等價于 取得 。 取得.因此基礎(chǔ)解系為，通解為。16. 設(shè)，求一個矩陣，使，且.解 由于,所以可設(shè). 則由 可得, , 解此非齊次線性方程組可得唯一解， 故所求矩陣．17. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且，求該方程組的通解。解 由于矩陣的秩為3，一維．故其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：，18．求下列非齊次方程組的通解. 解:通解
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