線性代數練習冊附答案(編輯修改稿)
2025-07-25 20:37 本頁面
【文章內容簡介】 9. 設η*是非齊次線性方程組AX=b的一個解，ξ1, ξ2,…, ξnr是它的導出組的一個基礎解系，證明：（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξnr線性無關；（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξnr線性無關． 復習題四，且方程組AX=θ的解空間的維數為2，則a= .2．設齊次線性方程組a1x1+a2x2+…+anxn=0,且a1,a2,…,an不全為零，則它的基礎解系所含向量個數為 .：α1=(a,2,10)T, α2=(2,1,5)T, α3=(1,1,4)T及向量β=(1,b,1)T，問a, b為何值時,（1）向量β不能由向量組π線性表示；（2）向量β能由向量組π線性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量組π線性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式． 4．設四元齊次線性方程組 （Ⅰ） ?。á颍┣? (1) 方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的基礎解系；(2) 方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解．5．設矩陣A=(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3, α4線性無關，α1=2α2α3，向量β=α1+α2+α3+α4，求非齊次線性方程組Ax= β的通解． 6. 設,證明三直線 相交于一點的充分必要條件是向量組線性無關，且向量組線性相關． 第5章 矩陣的特征值和特征向量習 題=(1,1,1)T，試求兩個向量α2, α3，使α1, α2, α3為R 3的一組正交基．, B都是n階正交矩陣，證明AB也是正交矩陣．3. 設A是n階正交矩陣，且|A|=1，證明：1是A的一個特征值． . 5. 已知三階矩陣A的特征值為1,2,3，計算行列式|A35A2+7E|．，求；并求一個正交矩陣P，使P 1AP=Λ． ：（1） （2）． 8. 設λ是可逆矩陣A的特征值，證明：(1)是A*的特征值．(2)當1,2,3是3階矩陣A的特征值時，求A*的特征值． =6, λ2=λ3=3，屬于特征值λ1=6的特征向量為p1=(1,1,1)T，求矩陣A． 復習題五，則A的n個特征值是 ．, AE, E+2A都不可逆，則行列式|A+E|= ．，已知A與B相似，則a, b滿足 ．, α1, α2為線性無關的2維列向量，Aα1=0, Aα2=2α1+, α2，則A的非零特征值為 .，求．+2E=O，證明A的特征值只能是1或2． =(1,1,1)T是對應矩陣的特征值的一個特征向量．(1) 求參數a, b及特征值； (2) 問A能否相似對角化？說明理由．8. 設，求φ(A)=A105A9． 第6章 二次型習 題： ．3. 已知二次型的秩為２，求的值． ． ，并寫出所用的可逆線性變換．6. 設二次型，若通過正交變換化成標準形，求的值． 7. 判別下列二次型的正定性： （1） （2）8. 設為正定二次型，求的取值范圍． 復習題六1. 設A為矩陣，B=λE+ATA，試證：λ0時，矩陣B為正定矩陣．,寫出以A, A1為矩陣的二次型，并將所得兩個二次型化成標準形． 3. 已知二次曲面方程，通過正交變換X=PY化為橢圓柱面方程，求的值． 4. 設矩陣，其中為實數，求對角矩陣Λ，使B與Λ相似，并討論k為何值時，B為正定矩陣． 測試題一一、計算題： .2．設，計算．3．設、都是四階正交矩陣，且，為的伴隨矩陣,計算行列式 ．4．設三階矩陣與相似，且，計算行列式 ．5．設，且的秩為2，求常數的值．二、解答題： 6．設，其中是各不相同的數，問4維非零向量能否由線性表示？說明理由．7．求齊次線性方程組 的一個基礎解系．8．問取何值時，線性方程組(1)有唯一解；(2)有無窮多解；(3)無解．9．已知四階方陣＝（），其中線性無關，求方程組的通解．10．三階實對稱矩陣的特征值是1,2,2的特征向量分別是,求
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