【文章內(nèi)容簡介】 3 2 1 30 1 1 0 1 0A E A????????? (6 分 ) 1 0 0 2 2 60 1 0 2 0 30 0 1 2 1 3r ?????????? (8 分 ) 所以 2 2 62 0 32 1 3X??????????? (10 分 ) 3． 解：利用由 0422 ??? EAA 可得： 0))(3( ???? EEAEA 5分 即 EEAEA ??? ))(3( 7 分 故 EA 3? 可逆且)()3( 1 EAEA ??? ? 10 分 4． 求下列非齊次線性方程組的通解及所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系． 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3232 3 8 83 2 2 9 52 3 4x x x xx x x xx x x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 14 解：1 1 1 2 32 1 3 8 8()3 2 1 9 50 1 2 3 4Ab?????? ? ? ? ?? ? ???1 1 1 20 1 2 3 40 0 1 1 20 0 0 0 0r????? ? ????? (2 分 ) 1 0 0 2 10 1 0 1 00 0 1 1 20 0 0 0 0r????????? (4 分 )則有 1424342102xxxxxx??????????? (6 分 ) 取 4x 為自由未知量，令 4xc? ，則通解為：123421101210xx cxx??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ??? cR? (8 分 ) 對 應(yīng) 齊 次 線 性 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 為 ：2111?????????????? (10 分 ) 5． 求下列向量組的秩和一個最大無關(guān)組 ,并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示 ． 1 2 3 42 1 2 34 , 1 , 3 , 5 .2 0 1 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 解： ? ?1 2 3 4? ? ? ? = 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 34 1 3 5 0 1 1 1 0 1 1 12 0 1 2 0 1 1 1 0 0 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? 11 0 120 1 1 10 0 0 0?????????? (2 分 ) 12,??為一個極大無關(guān)組 . (4 分 ) 設(shè) 15 3 1 1 2 2xx? ? ???， 4 1 1 2 2yy? ? ??? 解得 12121xx? ???? ??， 1211yy??? ??. (8 分 ) 則有 3 1 212? ? ???， 4 1 2? ? ??? 6 解 323121232221321 844552),( xxxxxxxxxxxxf ?????? f 的矩陣 ???????????????542452222A (2 分 )A 的特征多項式 )10()1()( 2 ???? ???? (4 分 ) 121 ???? 的兩個正交的特征向量 ???????????1101p, ????????????1142p 103 ?? 的特征向量 ????????????2213p 正交矩陣 ?????????????32231213223121312340Q 8 分 ) 正交變換 yQx? ：標準形 232221 10 yyyf ??? 四 、 證 明 題 （ 本 題 總 計 10 分） 若設(shè),2121211 , rr aaabaabab ??????? ??且向量組 raaa , 21 ? 線性無關(guān)，證明向量組 rbbb , 21 ? 線性無關(guān) . 證明：設(shè)存在12λ ,λ ,λr R? ， 使得 1 1 2 2 r rb + b + + b =0? ? ? 也即 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0rra a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? 化簡得 1 2 1 2 2( ) ( ) 0r r r ra a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 又因為 12, , , ra a a 線性無關(guān)，則122000rrr? ? ????? ? ? ??? ? ? ????? ?? (8 分 ) 解得 12 0r? ? ?? ? ? ? 所以， 1 2 rb , b , , b 線性無關(guān) . （試卷三） 一、填空題 （本題總計 20 分，每小題 2 分） 按自然數(shù)從小到大為標準次序，則排列(2 )(2 2) 2nn? 的逆序數(shù)為 設(shè) 4 階行列式 4a b c dd a c dDb d c aa d c b? ，則 11 21 31 41A A A A? ? ? ? 已知 1 10 30 2 70 0 2A???????，則 ? ?1*A ? ? 已知 n階矩陣 A、 B滿足 A B BA?? ，則 ? ? 1EB??? 若 A為 nm? 矩陣，則齊次線性方程組 A?x0只有零解的充分必要條件是 若 A 為 nm? 矩陣，且 ( ) 3 m in{ , }R A n m?? ，則齊次線性方程組 A?x0的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個數(shù)為 若向量 ? ?1 2 3 T? ?? 與向量 ? ?11T??? 正交，則 ?? 若 三 階 方 陣 A 的 特 征 多 項 式 為2( 1 ) ( 1 )AE? ? ?? ? ? ? ?，則 A? 17 設(shè)三階方陣1223A????????????、12B??????????????，已知 6A? ， 1B? ，則 AB?? 設(shè)向量組 1 2 3,? ? ? 線性無關(guān)，則當常數(shù) l 滿足 時，向量組 2 1 3 2 1 3,l? ? ? ? ? ?? ? ?線性無關(guān) . 二、選擇題 （本題總計 10 分，每小題 2 分） 以下等式正確的是 ( ) Ａ． ????????????????? dc bakdkc bka Ｂ．dc bakkdkc kbka ? Ｃ． ????????????????? ?? dc badc dbca Ｄ．a(chǎn)b cddc ba ? 4 階行列式 det( )ija 中的項 11 33 44 22a a a a 和 24 31 13 42a a a a 的符號分別為（ ） Ａ．正、正 Ｂ．正、負 Ｃ．負、負 Ｄ．負、正 設(shè) A 是 mn? 矩陣， C 是 n 階可逆陣，滿足 B＝ AC. 若 A和 B 的秩分別為 Ar 和 Br ，則有 ( ) Ａ． ABrr? Ｂ． ABrr? Ｃ． ABrr? Ｄ．以上都不正確 設(shè) A 是 mn? 矩陣，且 ()R A m n??，則 非齊次 18 線性方程組 A?xb( ) Ａ．有無窮多解 Ｂ．有唯一解 Ｃ． 無解 Ｄ．無法判斷解的情況 已知向量組 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 線性無關(guān)，則以下線性無關(guān)的向量組是（ ） Ａ． 1 2 2 3 3 4 4 1,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? Ｂ． 1 2 2 3 3 4 4 1,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? Ｃ． 1 2 2 3 3 4 4 1,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? Ｄ． 1 2 2 3 3 4 4 1, , ,? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 三、計算