【文章內(nèi)容簡介】 10．二次型 2221 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2f x tx tx x x x x x x? ? ? ? ? ?正定的充要條件是 。 三、計算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 計算行列式1 0 0 20 3 4 00 5 6 07 0 0 8。 12．已知 1 1 1 1 2 31 1 1 , 1 2 41 1 1 0 5 1AB? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，求 32AB A? 及 TAB。 13. 問 k 取何值時，方程組 1 2 31 2 31 2 32124 5 5 1x kx xkx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ? ??（ 1）有唯一解， （ 2）有無窮多解， （ 3）無解 。 14． 已知齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 423403 2 02 2 0x x x xx x x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ??，求該方程組的通解。 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41 , 2 , 2 , 3 , 6 , 6 , 1 , 0 , 3 , 0 , 4 , 2T T T Ta a a a? ? ? ? ?，求出它的一個最大無關(guān)組。 四 、解答題（ 10 分） 16. 已知 100032023A???????，求 10A 。 五 、 證明題 （ 每小題 5 分，共 10 分） 1 2 3 4, , ,a a a a ， 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1, , ,b a a b a a b a a b a a? ? ? ? ? ? ? ?，證明向量組 1 2 3 4, , ,b b b b 線性相關(guān)。 18. 證明：二次型 Tf X AX? 在 1X? 時的最大值為 A 的最大特征值，最小值為 A的最小特征值。 202220222 線性代數(shù)期末試卷 (A) 一、單項選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1．設(shè) A， B都是 n階方陣，且 |A|=3， |B|=1,則 1TAB? =( ). A. 3。 B. 13? 。 C. 13 。 D. 3. 2. 設(shè) A 為 n 階可逆矩陣 ,A 的第二行乘以 2 為矩陣 B ，則 1A? 的 ( )為 1B? . A． 第二行乘以 2 ； B. 第二列乘以 2； C． 第二行乘以 12 ； D. 第二列乘以 12 . 3. 若 ,AB都是三階可逆矩陣，則下列結(jié)論不一定正確的是 ( ). A. ? ?T TTAB B A? 。 B. ? ? 1 11AB B A? ??? 。 C. ? ?* **AB B A? 。 D. ? ?2 22AB B A? . 4． 設(shè) ,AB是 n 階方陣， ? ?2AB E? ，則可能不成立的是 ( ). A. 1AB?? 。 B. 1ABA B?? 。 C. 1BAB A?? 。 D. ? ?2BA E? . 5. , 4 ( ) 4 ( ) 3A B r A r B?設(shè) 為 階 方 陣 ， 且 秩 ， ＝ ，AB和 的伴隨矩陣為 AB??和 ， ( ) ( )r A B?? ?則 . A. 1； B. 2； C. 3； D. 4. 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6．00000000xyxyxyyx? 。 7．設(shè)矩陣 1 2 2233 4 5At???????， 若齊次線性方程組 0Ax? 有非零解，則數(shù)t? 。 8．矩陣 1000 1 30 1 2A???????的逆矩陣為 ； 9．設(shè) ,AB均為三階 矩陣， 2, 3AB?? ? ,則 *2 TAB? 。 10．設(shè) A 是 4 階矩陣，矩陣 A 的特征值是 1,2, 4,8??, 則矩陣 *A 的全部特征值是 . 三、計算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 計算行列式1 2 3 11 1 0 0 00 2 2 0 00 0 0 2 00 0 0 1 1nnnDnnn??????? 12．設(shè) 3 階方陣 AB， 滿足方程 2A B A B E? ? ? ， 試求矩陣 B 以及行列式 B ，其中 1 0 1 1 0 00 2 0 0 1 02 0 1 0 0 1AE? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，. 13. 求線性方程組1 2 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4203 2 12 3 14 3 1x x xx x x xx x x xx x x x? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??的 通解。 14．已知向量組 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41 , 2 , 2 , 3 , 6 , 6 , 1 , , 0 , 3 , 0 , 4 , 2T T T T? ? ? ?? ? ? ? ?，求出它的一個最大無關(guān)組。 15. 設(shè) A 為三階矩陣，有三個不同特征值 1 2 3, , ,? ? ? 1 2 3,? ? ? 依次是屬于特征值1 2 3, , ,? ? ? 的特征向量，令 1 2 3? ? ? ?? ? ? , 若 3AA??? ， 求 A 的特征值并計算行列式 23AE? . .四 、解答題（ 10 分） 16. 設(shè)二次型 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3, , 2 2 2 , ( 0)Tf x x x x A x ax x x bx x b? ? ? ? ? ?,其中二次型矩陣 A 的特征值之和為 1，特征值之積為 12， (1) 求 ,ab的值； (2)求正交變換，化二次型 f 為標(biāo)準形。 五 、 證明題 （ 每小題 5 分，共 10 分 ） 17. 已知 A 是 n 階正定矩陣 ， B 是 n 階反對稱矩陣，即 TBB?? ， 判定矩陣 2AB?是否可逆，說明理由 . 18. 設(shè) ? 為 n 維列向量，且 1T??? ，矩陣 TAE???? ，證明：行列式 | | 0A? 。 202220222 線性代數(shù)期末試卷 (B) 一、單項選擇題（每小題 3 分， 共 15 分） 1．設(shè) A 為正交矩陣，且 1A?? ， 則 *A? ( ). A. TA 。 B. TA? 。 C. A 。 D. A? 2. 若 ,AB都是 n 階方陣，且 0B? , 0AB? ，則必有 ( ). A. 0A? 或 0B? ； B. 0AB??； C. 0AB??； D. 0A? 或 0B? . 3. ? ? ? ?R A R A b? 是非齊次線性方程組 Ax b? 有無窮多解的 ( ). A. 充分條件 。 B. 必要條件 。 C. 既非充分條件又非必要條件 。 D. 不能確定 . 4． A 是 n 階可逆矩陣，則與 A 必有相同特征值的矩陣是 ( ). A. 1A? 。 B. 2A 。 C. TA 。 D. *A . 5. 設(shè)向量組 1 2 3,? ? ? 線性無關(guān) , 234,? ? ? 線性相關(guān) ,則以下命題 中， 不一定成立的是 ( ). A. 1? 不能被 234,? ? ? 線性表示； B. 2? 不能被 1 3 4,? ? ? 線性表示； C. 4? 能被 1 2 3,? ? ? 線性表示； D. 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 線性相關(guān) . 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6． 行列式 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a b a b a ba b a b a ba b a b a b=______ ____。 7．設(shè) ? ?3 1 0A? , 214035B???????????， 則 AB=______ 。 8． 設(shè) *A 是 n 階方陣 A 的伴隨矩陣，行列式 2A? ，則 *2A =_____________； 9．設(shè) A是 4 3矩陣， ( ) 2RA? ， 若 1 0 20 2 00 0 3B???????， 則 ? ?RAB =_____________； 10．設(shè)方陣 1 2 42 4 24 2 1A??????? ? ?????相似于對角矩陣 54t???????, 則 t? __ 三、計算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 求行列式 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a b a b a bD a b a b a ba b a b a b? ? ?? ? ? ?? ? ?的值。 12．已知 A 為 n 階正交矩陣，且 0A? 。 （ 1）求行列式 A 的值；（ 2）求行列式 AE? 的值。 13. 設(shè)非齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 414 3 5 131x x x xx x x xax x x bx? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??, 問 ,ab為何值時 , 系數(shù)矩陣的秩為 2？并求此時方程組的通解． 14．已知 2X AX B??， 其中 2 1 1 2,1 1 2 1AB? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?， 求矩陣 X 。 1111 1 11 1 1111aaAaa????? ????， A 的秩為 3， 求 a 。 四 、解答題（ 10 分） 16. 設(shè)實對稱矩陣 1 2 22 2 42 4 2A?????? ? ????， 求正交矩陣 Q ， 使 1Q AQ??? 為對角矩陣，并寫出對角陣 ? 五 、 證明題 （ 每小題 5 分，共 10 分 ） 17. 設(shè) ? 為 0Ax? 的非零解， ? 為 ? ?0Ax b b??的解，證明 ? 與 ? 線性無關(guān)。 18. 已知 A 與 AE? 都是 n 階正定矩陣，判定 1EA?? 是否為正定矩陣，說明理由 . 參 考 答 案 2022 級線性代數(shù)期末考試 參考答案 （ A 卷） 一、單項選擇（ 20 分＝ 4 分 ? 5）： D C A C C 二、填空題（ 20 分＝ 4 分 5? ）： － 3， 3a ， 任意值， ? ?1 2 3 4 T， 1k? 三、計算行列式（ 14 分）： 11．30011122331 1 1 11 1 11 0 00 0 01 0 00 0 01 0 00 0 0i iaaaaaaaaa???? 7’ 31 2 3 0 1 1()i ia a a a a???? 7’ 四、證明（ 16 分＝ 8 分 2）： 1證明： TAA? 2’ ()T T T T TB A B B A B B A B? ? ? 3’ TBAB? 也是對稱矩陣。 3’ 1證明： 11,TTA A B B???? 2’ ? ?1 1 1() TTTA B B A B A A B? ? ?? ? ? ?