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正文內(nèi)容

[理學(xué)]線性代數(shù)第14講(編輯修改稿)

2024-11-15 01:08 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 研究二次型的一個(gè)基本問題 . 解決這個(gè)問題的基本方法是作一個(gè)非退化的線性變換 X=CY, (其中 C為可逆陣 , 這個(gè)變換也可看成向量 a在基變換下的坐標(biāo)變換 ), 使得 XTAX=YT(CTAC)Y 成為 y1,y2,...,yn的平方和 . 這個(gè)基本問題 , 從矩陣的角度來說 , 就是對(duì)于一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣 , 尋找一個(gè)可逆矩陣 C, 使得CTAC成為對(duì)角形 . 2021/11/10 15 定義 2 對(duì)于兩個(gè)矩陣 A和 B, 如果存在可逆陣 C, 使得 CTAC=B, 就稱 A合同 于 B, 記作 A?B. 由定義容易證明 , 矩陣之間的合同關(guān)系也具有反身性 , 對(duì)稱性和傳遞性 . 由于合同關(guān)系有對(duì)稱性 , 所以 A合同于 B, 也說成 A與 B是合同的 , 或 A,B是 合同矩陣 . 2021/11/10 16 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 2021/11/10 17 本節(jié)討論的問題是 : 如何通過非退化線性變換X=CY, 把二次型 f(x1,x2,...,xn)=XTAX化為y1,y2,...,yn的平方和 , 即為化d1y12+d2y22+...+dnyn2. 我們把含平方項(xiàng)而不含混合項(xiàng)的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)的二次型 . 或稱化成的這種標(biāo)準(zhǔn)的二次型稱作二次型 XTAX的標(biāo)準(zhǔn)型 . 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 , 就是對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣 A, 尋找可逆陣 C, 使 CTAC成對(duì)角形 . 2021/11/10 18 正交變換法 在 , 對(duì)于任一個(gè) n階實(shí)對(duì)稱矩陣 A, 一定存在正交矩陣 Q, 使得 QTAQ=L. 由于 Q?1=QT, 所以有 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln). 因此有下面的定理 . 2021/11/10 19 定理 1(主軸定理 ) 對(duì)于任一個(gè) n元二次型 f(x1,x2,...,xn)=XTAX, 存在正交變換 X=QY(Q為 n階正交矩陣 ), 使得 XTAX=Y(QTAQ)Y=l1y12+l2y22+...+lnyn2, () 其中 l1,l2,...,ln是實(shí)對(duì)稱矩陣 A的 n個(gè)特征值 , Q的 n個(gè)列向量 a1,a2,...,an是 A對(duì)應(yīng)于特征值l1,l2,...,ln的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量 . 2021/11/10 20 慣性定理和二次型的規(guī)范形 2021/11/10 21 定理 4(慣性定理 ) 對(duì)于一個(gè) n元二次型 XTAX, 不論作怎樣的非退化線性變換使之化為標(biāo)準(zhǔn)型 , 其中正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) p和負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) q都是唯一確定的 . 2021/11/10 22 即 , 對(duì)一 n階實(shí)對(duì)稱陣 A, 不論取怎樣的可逆陣C, 只要使 1100ppTpqdddC ACd?????????????????????2021/11/10 23 di0 (i=1,2,...,p+q) p+q?n成立 , 則 p和 q是由 A唯一確定的 . 定義 3 二次型 XTAX(所化成 )的標(biāo)準(zhǔn)形中 , 正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) (即與 A合同的對(duì)角陣中正對(duì)角元的個(gè)數(shù) ), 稱為二次型 (或 A)的 正慣性指數(shù) 。 負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) (即與 A合同的對(duì)角陣中負(fù)對(duì)角元的個(gè)數(shù) ), 稱為二次型 (或 A)的 負(fù)慣性指數(shù) 。 正
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