[研究生入學(xué)考試]線性代數(shù)第8講(編輯修改稿)
2025-01-19 12:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 若 a1,a2,a3不共面 , 則任一個向量都不能由另兩個向量線性表示 , 即只有當(dāng) k1,k2,k3全為零時 , 才有 k1a1+k2a2+k3a3=0. O a3=k a2=j a1=i 2021/11/10 19 定義 5 如果對 m個向量 a1,a2,...,am?Fn, 有 m個不全為零的數(shù) k1,k2,...,km?F, 使 k1a1+k2a2+...+kmam=0 () 成立 , 則稱 a1,a2,...,am線性相關(guān) 。 否則 , 稱a1,a2,...,am線性無關(guān) . 即只有當(dāng) k1,k2,...,km全為零時 , 才有 k1a1+k2a2+...+kmam=0 成立 ,就稱 a1,a2,...,am線性無關(guān) . 2021/11/10 20 定理 1 向量組 a1,a2,...,am(m?2)線性相關(guān)的充分必要條件是 a1,a2,...,am中至少有一個向量可由其余 m1個向量線性表示 . 證 設(shè) a1,a2,...,am線性相關(guān) , 則存在 m個不全為 0的數(shù) k1,k2,...,km, 使 k1a1+k2a2+...+kmam=0. 不妨設(shè) k1?0, 于是由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)得 32121 1 1.m mkkkk k ka a a a?= 必要性得證 . 2021/11/10 21 再證充分性 , 不妨設(shè) a1可用 a2,a3,...,am線性表示 , 即 a1=l2a2+l3a3+...+lmam, 于是有 1a1l2a2l3a3...lmam=0, 顯然 1,l2,l3,...,lm不全為 0, 故 a1,a2,...,am線性相關(guān) . 定理 1的等價命題 (逆否命題 )是 : 向量組a1,a2,...,am(m?2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中任一個向量都不能由其余向量線性表示 . 2021/11/10 22 例 1 設(shè) n維向量 ei=[0,...,0,1,0,...,0], 其中第 i個分量為 1, 其余分量為 0, 則 e1,e2,...,en是線性無關(guān)的 . 證 設(shè)存在 n個數(shù) k1,k2,...,kn使 k1e1+k2e2+...+knen=0, 即 [k1,k2,...,kn]=0, 則必須 k1=k2=...=kn=0, 故 e1,e2,...,en線性無關(guān) . 以后 , 稱 e1,e2,...,en為 基本向量 . 2021/11/10 23 例 2 設(shè) n維向量 a=[a1,a2,...,an], e1,e2,...,en為基本向量 , 則向量組 a,e1,e2,...,en是線性相關(guān)的 . 證 由于 a=[a1,a2,...,an]=a1e1+a2e2+...+anen, 根據(jù)定理 1, 向量組 a,e1,e2,...,en線性相關(guān) . 2021/11/10 24 例 3 包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的 . 證 設(shè)向量組 a1,a2,...,as(其中 a1=0), 于是存在不全為零的數(shù) 1,0,...,0, 使 1a1+0a2+...+0as=0, 故線性相關(guān) . 根據(jù)定義不難證明 : 單個向量 a線性相關(guān) (無關(guān) ), 當(dāng)且僅當(dāng) a為零向量 (非零向量 ). 2021/11/10 25 定理 2 設(shè) a1,a2,...,ar?Fn, 其中 : a1=[
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