[理學(xué)]線性代數(shù)第14講-閱讀頁
2024-11-03 01:08本頁面
【正文】 TpqdddC ACd?????????????????????2021/11/10 23 di0 (i=1,2,...,p+q) p+q?n成立 , 則 p和 q是由 A唯一確定的 . 定義 3 二次型 XTAX(所化成 )的標(biāo)準(zhǔn)形中 , 正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) (即與 A合同的對角陣中正對角元的個(gè)數(shù) ), 稱為二次型 (或 A)的 正慣性指數(shù) 。2+c39。2021/11/10 1 線性代數(shù)第 14講 二次型 2021/11/10 2 二次型就是二次多項(xiàng)式 . 在解析幾何中討論的有心二次曲線 , 當(dāng)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí) , 其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是 x,y的一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式 . 為了便于研究這個(gè)二次曲線的幾何性質(zhì) , 通過基變換 (坐標(biāo)變換 ), 把方程 (1)化為不含 x,y混合項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)方程 a39。x39。y39。 負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù) (即與 A合同的對角陣中負(fù)對角元的個(gè)數(shù) ), 稱為二次型 (或 A)的 負(fù)慣性指數(shù) 。 把 ()式中的對角陣稱為 A的合同規(guī)范形 . 2021/11/10 25 證 根據(jù)慣性定理 , 存在可逆陣 C1, 使得 ),0,0,1,1,1,1di a g ()(,),1,1,1,1,1,1di a g (),1,1(0),0,0,di a g (2112221121111???????????????????????????CACCCCCddddCqpppidddddACCTTTqpppiqpppT并有則取可逆陣其中其中 ?1分別有 p,q個(gè) , 0有 n?p+q個(gè) . 取C=C1C2, ()式成立 。 (ii) A的正慣性指數(shù)為 n, 即 A?I。 (iv) A的 n個(gè)特征值 l1,l2,...,ln全大于零 . 證 (i)?(ii) 對于 A, 存在可逆陣 C使得 CTAC=diag(d1,d2,...,dn). 令 X=CY就有 XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+...+dnyn2 如有一個(gè) di?0, 則上式必不恒大于零 , 與命題 (i)矛盾 , 故 A的正慣性指數(shù)為 n, 從而 A?I. 2021/11/10 32 定理 5 若 A是 n階實(shí)對稱矩陣 , 則下列命題等價(jià) : (i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩陣 )。 (iii) 存在可逆陣 P, 使得 A=PTP。 (ii) A的正慣性指數(shù)為 n, 即 A?I。 (iv) A的 n個(gè)特征值 l1,l2,...,ln全大于零 . (ii)?(iii) 設(shè) AX=lX, 即 (PTP)X=lX, 于是便有 XTPTPX=lXTX, 即 (PX,PX)=l(X,X). 由于特征向量 X?0, 從而 PX?0, 故 A的特征值 ( , ) 0.( , )P X P XXXl ??2021/11/10 34 定理 5 若 A是 n階實(shí)對稱矩陣 , 則下列命題等價(jià) : (i) XTAX是正定二次型 (或 A是正定矩陣 )。 (iii) 存在可逆陣 P, 使得 A=
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