【正文】 2 2 1325 82523313TXX?????? ?????? ? ? ???????????? 5’ 六、計(jì)算題（ 10 分）： 15．解：設(shè) A 相應(yīng)與特征值 2 的特征向量為 123xxx???????????? 2’ 因?yàn)閷?shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交， 2’ 所以 1 1 2 300T p x x x? ? ? ? ? ? 得到基礎(chǔ)解系12111 , 001????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3’ 所以 A 相應(yīng)于 2 的全部特征向量為 ? ?1 2 1 2111 0 , ,01c c c c R???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3’ 七、解答題 (6 分 )： 16． 解：設(shè)112,1 12xXAy??????????? ? ? ?????則有 22TX AX x xy y? ? ? 3122EA? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?， A? 的特征值為1231,22???? 2’ 對應(yīng)于 1? 的特征向量可以計(jì)算得：1 1 ,1? ????????單位化得 11212p?????????? 1’ 對應(yīng)于 2? 的特征向量可以計(jì)算得：2 1 ,1? ???????單位化得 11212p????????????? 1’ 作正交變化 X pY? 得到 2212 122 3T yyX AX ? ? ?，由正交變化得剛性知面積為 23?。 1 0 0110220 0 1?????????。 2。 3’ “ 必 要 性 ” 設(shè) ? ? ,R A n? 則對任意的實(shí) n 維 非 零 向 量 x ， 使 得? ? ? ? 0TTTx A A x A x A x??，所以 TAA是正定矩陣 令 BA? ，則有 2TTAB B A A A??正定 6’ 2022 級 線性代數(shù) 期末試卷 (A)解答 與參考評分標(biāo)準(zhǔn) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1. A 。 3. B。 5. B 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6． 1。 8． 74 。 10． 12, nk k k? ? ? 三、計(jì)算 n 階行列式（本題 14 分） 11解 : 1 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2nn n n nD? ? ? ?? 4’ ? ?1 1 1 11 2 1 111 1 1 2n?? 8’ ? ?1 1 1 10 1 0 010 0 0 1n?? 12’ ? ?1n?? 14’ 四、證明題（每小題 8 分，共 16 分） 12． 證： 由 0kA? 及 ? ? ? ?1kkE A E A E A A ?? ? ? ? ? 4’ 知 ? ?? ?1kE A E A A E?? ? ? ? ? 6’ EA??可逆，且有 ? ? 1 1kE A E A A? ?? ? ? ? 8’ 13. 證： 設(shè)向量組 B 的一個(gè)最大無關(guān)組為 0B ： 11 12 1, q? ? ? ，向量組 A 的一個(gè)最大無關(guān)組為 0A ： 11 12 1, p? ? ? 2’ 由 0A 可由 A 線性表示， A 可由 B 線性表示， B 可由 0B 線性表示 4’ 可得 ? ? ? ? ? ? ? ?00R A R A R B R B??? 6’ 即 pq? 8’ 五、解矩陣方程（ 14 分） 14． 解 :? ? 134 1 2 1 3 1 0 1 2 22 2 1 2 2 2 2 1 2 23 1 1 3 1 3 1 1 3 1~rrAB ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2’ 13231 0 0 1 0 20 1 0 1 5 32 0 0 1 1 2 4~rrrr? ??????? ? ? ??? 8’ ? ?3 1 0 0 10 21 0 1 0 15 3~ 0 0 1 12 4r ???? ????? 10’ AX B? 且 A 可逆 110 215 312 4X A B?????? ? ? ? ??? 14’ 六、解答題（每小題 10 分，共 20 分） ： 1 1 1 2 11 1 1 0 1AB ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?0 2 0222??????? 16. 解： 24121 14221332421 1 0 1 1 01 1 1 0 2 10 4 2 0 4 222 4 3 0 6 3~rrrrA?????????????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ??? 2’ 232421 4 2423 2 4 21 1 00 2 1~2( )00032 3 ( )000rrrr???? ? ?? ? ? ?????? ??? ???? ? ??? 4’ ?向量組的秩為 2，一個(gè)最大無關(guān)組 24,?? 6’ 1122? ? ? ? ? ?? ? ?4 2 4 2（ + ） =0 +2 8’ 3 2 4 2 3 2 42 3 ( ) 0 3? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 10’ 七、解答題（ 6 分） 17. 解： 在等式 2TAA E? 兩邊取行列式，得 42 2 16TA A E? ? ? 而 2TTAA A A A?? 又 04AA? ? ? ? 2’ 12A? ?? 1222 TAAE A A? ? ? 112 2 2 2TTAAE A E A??? ? ? ????? 12AE?? ? 202A E? ? ? 1 02 AE? ? ? 即 20AE?? A? 有一個(gè)特征值 2? 4’ 40AA? ? ? ?可逆 *1A A A??? 從而 *A 有一個(gè)特征值 4 2222A ????? 6’ 202220222 線性代數(shù) 期末試卷 (A)解答與參考評分標(biāo)準(zhǔn) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1. C。 3. D。 5. B 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6． 8 。 8． 3 。 10． 3 三、計(jì)算 題 （ 每小題 10 分，共 50 分） 11. 解： 0 7 5 13 7 5 131 3 0 6 2 1 20 2 1 2 7 7 120 7 7 12D? ???? ? ? ?? ?? ……………… ..… .(5分 ) 3 5 3 330 1 0727 7 2?? ?? ? ? ? ????…………… ……… ..(8 分 ) ＝ 27………………………………………… .(10 分 ) 12． 解：由于 XBAX ?? ，得 ()A E X B??，即 1()X A E B??? … .…… .(2分） 2 1 0 1 0 0 1 1 0( ) 1 0 3 0 1 0 1 1 31 0 2 0 0 1 1 0 1AE??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?…………………… .……… （ 4分） 由初等變換求逆可得（注：用其它方法也可以） 111 13341( ) 1 ,3311 033AE ?????????? ? ? ??????………………………………………………… ..（ 8分） 15 1138( ) 1 1 ,32 113X A E B?????????? ? ? ? ? ?????? ………………………………………… .（ 10 分） 13. 解：對其增廣矩陣 ? ?bA 作初等變換可得： ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 4 5 6 ~ 0 3 2 3 4 ~ 0 3 2 3 41 2 3 4 5 0 3 2 3 4 0 0 0 0 0Ab? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ………… ..（ 5分） 571 0 23324~ 0 1 1330 0 0 0 0???????????? …………………………………………… .（ 6分） 取 34,xx為自由向量，原方程組可化 為： 1 3 42 3 475 2334233x x xx x x? ? ? ????? ? ? ??? ………………………………………………………… （ 7 分） 所以方程組的通解為： 121234752334 2 133 001 100xxkkxx? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? 其中 12,kk為任意常數(shù)。 …………………………… .（ 10分） 注：用初等變化求秩也可以。 而且有 1 1 1( ) ( ) ( )T T TA B I B E B? ? ?? ? ? ? …………………………… .（ 6分 ） 202220222 線性代數(shù) 期末試卷 (B)解答與參考評分標(biāo)準(zhǔn) 一、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分，共 15 分） 1. A。 3. D。 5. B 二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 6． 32。 8． 1； 9．