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[理學(xué)]線性代數(shù)試題匯編-wenkub.com

2025-01-06 01:17 本頁面
   

【正文】 8. 1; 9. 2 。 3. D。 …………………………… .( 10分) 注:用初等變化求秩也可以。 8. 3 。 3. D。 8. 74 。 3. B。 2。 3’ 五、計算題( 14 分): 14.解: 設(shè) 2 1 1 1 1 32 1 0 ,4321 1 1AB??? ??????? ???????,則 ? ? 1T T T T T TX A B A X B X A B?? ? ? ? ? 4’ ? ?81 0 0 22 2 1 1 4 31 1 1 1 3 ~ 0 1 0 2 51 0 1 3 2 20 0 1 13TTAB?? ????????? ? ????????? 5’ 822 2 1325 82523313TXX?????? ?????? ? ? ???????????? 5’ 六、計算題( 10 分): 15.解:設(shè) A 相應(yīng)與特征值 2 的特征向量為 123xxx???????????? 2’ 因為實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交, 2’ 所以 1 1 2 300T p x x x? ? ? ? ? ? 得到基礎(chǔ)解系12111 , 001????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3’ 所以 A 相應(yīng)于 2 的全部特征向量為 ? ?1 2 1 2111 0 , ,01c c c c R???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3’ 七、解答題 (6 分 ): 16. 解:設(shè)112,1 12xXAy??????????? ? ? ?????則有 22TX AX x xy y? ? ? 3122EA? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?, A? 的特征值為1231,22???? 2’ 對應(yīng)于 1? 的特征向量可以計算得:1 1 ,1? ????????單位化得 11212p?????????? 1’ 對應(yīng)于 2? 的特征向量可以計算得:2 1 ,1? ???????單位化得 11212p????????????? 1’ 作正交變化 X pY? 得到 2212 122 3T yyX AX ? ? ?,由正交變化得剛性知面積為 23?。 1111 1 11 1 1111aaAaa????? ????, A 的秩為 3, 求 a 。 8. 設(shè) *A 是 n 階方陣 A 的伴隨矩陣,行列式 2A? ,則 *2A =_____________; 9.設(shè) A是 4 3矩陣, ( ) 2RA? , 若 1 0 20 2 00 0 3B???????, 則 ? ?RAB =_____________; 10.設(shè)方陣 1 2 42 4 24 2 1A??????? ? ?????相似于對角矩陣 54t???????, 則 t? __ 三、計算 題 ( 每小題 10 分,共 50 分) 11. 求行列式 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a b a b a bD a b a b a ba b a b a b? ? ?? ? ? ?? ? ?的值。 B. 2A 。 D. A? 2. 若 ,AB都是 n 階方陣,且 0B? , 0AB? ,則必有 ( ). A. 0A? 或 0B? ; B. 0AB??; C. 0AB??; D. 0A? 或 0B? . 3. ? ? ? ?R A R A b? 是非齊次線性方程組 Ax b? 有無窮多解的 ( ). A. 充分條件 。 五 、 證明題 ( 每小題 5 分,共 10 分 ) 17. 已知 A 是 n 階正定矩陣 , B 是 n 階反對稱矩陣,即 TBB?? , 判定矩陣 2AB?是否可逆,說明理由 . 18. 設(shè) ? 為 n 維列向量,且 1T??? ,矩陣 TAE???? ,證明:行列式 | | 0A? 。 8.矩陣 1000 1 30 1 2A???????的逆矩陣為 ; 9.設(shè) ,AB均為三階 矩陣, 2, 3AB?? ? ,則 *2 TAB? 。 B. 1ABA B?? 。 D. 3. 2. 設(shè) A 為 n 階可逆矩陣 ,A 的第二行乘以 2 為矩陣 B ,則 1A? 的 ( )為 1B? . A. 第二行乘以 2 ; B. 第二列乘以 2; C. 第二行乘以 12 ; D. 第二列乘以 12 . 3. 若 ,AB都是三階可逆矩陣,則下列結(jié)論不一定正確的是 ( ). A. ? ?T TTAB B A? 。 18. 證明:二次型 Tf X AX? 在 1X? 時的最大值為 A 的最大特征值,最小值為 A的最小特征值。 14. 已知齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 423403 2 02 2 0x x x xx x x xx x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ??,求該方程組的通解。 10.二次型 2221 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2f x tx tx x x x x x x? ? ? ? ? ?正定的充要條件是 。 二、填空題(每小題 3 分 ,共 15 分) 6.若三階矩陣 A 的特征值為 0, 1, 2,則 2 2A A E??值等于 。 5. 二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 3 4 2 8f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?的秩為( ) A. 0。 B. ? ?? ? ? ?? ?1 11 TTTAA? ??? 。 四 、解答題( 10 分) 16. 已知二次型 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3, , 2f x x x x x c x x x? ? ? ?的秩為 2,求參數(shù) c ,并求正交變換,將該二次型標(biāo)準(zhǔn)化。 12.設(shè)矩陣 1 1 11 1 11 1 1A??????????,矩陣 X 滿足 *12A X A X???,求 X 。 8.當(dāng) t? 時 , 下列向量組 ? ?1 2 3( 2 , 1 , 0 ) , ( 3 , 2 , 5 ) , 1 0 , 6 ,a a a t? ? ?線性相關(guān)。 C. 存在可逆矩陣 P ,使得 TP AP B? 。R A n? ; 可逆; D. A 的列向量組線性無關(guān) . 3. 設(shè) A 為 n 階方陣,若 A 與 n 階單位矩陣等價,則方程組 Ax b? 有( ) A. 無解; B. 有唯一解; C. 有無窮多解; D. 解的情況不能確定。 B. 等于零 。 14.已知向量組 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 41 , 2 , 2 , 3 , 6 , 6 , 1 , , 0 , 3 , 0 , 4 , 2T T T T? ? ? ?? ? ? ? ?,求出它的一個最大無關(guān)組。 5. 實二次型 ? ? 23222121321 4, xxxxtxxxxf ???? 秩為 2,則 ?t () . A. 1 。 B. ? ?3ba? 。 15. t 取何值時,向量組 ? ? ? ? ? ?taaa ,0,3,2,2,2,3,2,1 321 ??? 線性無關(guān)。 C. 2 。R AB r r? 。AB BA? B. 若 A 可逆,則 TA 也可逆; C. 若 A 可逆, B 也可逆,則 AB? 也可逆; D. 若 A 可逆, B 也可逆,則 AB 不一定可逆; 3. 已知 21 )(,)( rBRrAR ?? ,則 )(ABR 為( ) A. 12( ) 。 202220222 線性代數(shù)期末試卷 (A) 一、單項選擇題(每小題 3 分,共 15 分) 1. BA, 為 n 階矩陣,滿足 0?AB ,則必有 ( ) A. 0A? 或 0B? 。 D. 1,0, 3??. 二、填空題(每小題 3 分,共 15 分) 6.設(shè) ( , 1,2)ijA i j ? 為行列式 2131D?中元素 ija 的代數(shù)余子式 ,則 11 1221 22AAAA? 7.設(shè) 4 階方陣5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A????? ?????,則 1A?? 8. 設(shè)線性方程組 1 2 31 2 31 2 32 2 02020x x xx x xx x x?? ? ???? ? ???? ? ??有非零解,則 ?? 9.已知向量組 1 2 3( 3 , 2 , 0 , 1 ) , ( 3 , 0 , , 0) , ( 1 , 2 , 4 , 1 )? ? ? ?? ? ? ? ?的秩為 2,則 ?? 10.設(shè) n 階方陣 A 的特征值為 12, , , n? ? ? ,則 kA ( k 為常數(shù))的特征值為 三、計算 n 階行列式(本題 14 分) 11. 2 1 1 11 2 1 11 1 1 2nD ? 四、證明題(每小題 8 分,共 16 分) 12. 已知對于 n 階方陣 A ,存在自然數(shù) k ,使得 0kA? ,試證明矩陣 EA? 可逆,并寫出其逆矩陣的表達式。 B. 存在一組全為零的數(shù) 12, , , ,sk k k 使等式 11 sskk? ? ?? ? ?成立; C. 存在一組數(shù) 12, , , ,sk k k 使等式 11 sskk? ? ?? ? ?成立; D. 對 ? 的線性表達式唯一。R A R B? B. ( ) ( )。 D. 51 32 13 44 25 66a a a a a a. 2. 設(shè) ,AB為 n 階矩陣,下列運算正確的是( ) A. ( ) 。 202220221 線性代數(shù)期末考試試卷( A 卷) 一、單項選擇( 16 分= 4 分 ? 4): 1.以下結(jié)論正確的是(), ( A )若 A 的行列式 0,A? 則 0A? ; (B ) 若 2 0,A? 則 0A? ; (C ) 若 A 為對稱矩陣,則 2A 也是對稱矩陣; (D ) 對任意同階的矩陣 ,AB有 ? ?? ? 22A B A B A B? ? ? ?; 2. 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣, *A 是 A 的伴隨矩陣,則( )成立; ( A ) *AA? ; (B ) 1* nAA?? ; (C ) * nAA? ; (D ) *1AA?? . 3. 初等矩陣(); (A ) 都可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣;( B ) 所對應(yīng)的行列式的值都等于 1; ( C ) 相乘仍為初等矩陣; ( D ) 相加仍為初等矩陣; 4.設(shè) A 為 n 階方陣,則以下結(jié)論( )成立; (A ) 若 A 可逆,則矩陣 A 對應(yīng)于特征值 ? 的特征向量 x 也是矩陣 1A? 對應(yīng)于特征值 1?的特征向量; ( B ) A 的特征向量即為方程 ? ? 0A E x???的全部解; ( C ) A 的特征向量的線性組合仍為特征向量; ( D ) A 與 TA 有相同的特征向量; 二、填空題( 16 分= 4 分 4? ): 5.方程組 121200xxxx? ????? ???有非零解,則 ? = _______; 6.設(shè) 3 0 01 4 00 0 3A
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