【正文】 一個(gè)秩為3的二次型．（3）令，顯然它是一個(gè)可逆變換，它的逆變換也是可逆線性變換，這個(gè)線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形 該二次型是一個(gè)秩為3的二次型．（4）解：令，顯然它是一個(gè)可逆變換，它的逆變換也是可逆線性變換，這個(gè)線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形 該二次型是一個(gè)秩為3的二次型．（5）解：令令，它的逆變換，帶入得， 這個(gè)線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形 該二次型是一個(gè)秩為3的二次型．五、設(shè)二次型經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求常數(shù).解：，該二次型的矩陣為，它可經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，故0，1，2是矩陣的三個(gè)特征值．從而有即，解得六、已知是二次型的矩陣的特征向量,求這個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.解：該二次型的矩陣為，由題設(shè)是矩陣的特征向量，故存在特征值滿足，即，可得此時(shí)，特征方程 解得特征值為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 正定二次型一、填空題(1)設(shè)，則 不是 正定矩陣。式子 不是 二次型；式子 不是 二次型（填“是”或者“不是”）．（2）設(shè)是正定的，則．(3)若二次型 是正定的，則t的取值范圍是．二、（1）二次型的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)與符號(hào)差分別為 A ． (A) 2,0,2 (B) 2,0,0 (C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A ．（A）既不正定也不負(fù)定（B）負(fù)定的（C）正定的 （D）無法確定(3) 如果A是正定矩陣，則 C ．（A是A的伴隨矩陣） (A) A′和A－1也正定，但A不一定 （B）A－1和A也正定，但A′不一定（C）A′、A－A也都是正定矩陣 (D) 無法確定（4）二次型 是正定二次型的充要條件是 C （A）存在維非零向量，使（B）,（C）的正慣性指標(biāo)為 （D）的負(fù)慣性指標(biāo)為 （5）對(duì)正定二次型矩陣下列結(jié)論不正確的為（ D ）（A） 合同于一個(gè)同階單位陣 （B） 所有特征值都大于0（C）順序主子式都大于0（D） 不能對(duì)角化（6）以下命題正確的是 （題目錯(cuò)，無正確答案） （A） 若階方陣的順序主子式都大于零，則是正定矩陣（B） 若階方陣的特征值都大于零，則是正定矩陣（C） 若階實(shí)對(duì)稱矩陣不是負(fù)定的，則是正定的 （D） 若階實(shí)對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線元素不全為零，則一定不是正定的 三、判斷下列二次型的正定性：（1）解：該二次型的矩陣為，因?yàn)?，二次型非正定．?）解：該二次型的矩陣為，因?yàn)?，二次型正定．四、求?使下列二次型為正定二次型（1）解：該二次型的矩陣為，要使得二次型正定，只有：，同時(shí)成立，所以二次型正定可得．（2）解：該二次型的矩陣為，要使得二次型正定，只有：，同時(shí)成立，所以二次型正定可得．線性代數(shù)試題（一）一、填空題（每題4分，5小題共20分）已知為階方陣，為的伴隨矩陣，若，則=．提示：，因此，得設(shè)、是三階方陣，是三階單位陣，且，則 4 ．提示：由得，則向量在基，下的坐標(biāo)為 （1，2，3） ．若向量組，的秩為2，則 3 ．階方陣，若滿足，則的特征值為 0或1 ．二、選擇題（每小題3分，共15分）設(shè)和都是階方陣，且，是階單位陣，則（ B ）．（A） （B）或者（C） （D）且維向量組線性無關(guān)的充分必要條件為（ C ）．(A)均不為零向量；(B)中任意兩個(gè)不成比例(C)中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線性表示(D)以上均不對(duì)設(shè)為矩陣，且,則齊次線性方程組（　C?。?A)無解 (B)只有唯一解 (C)一定有無窮多解 (D)不能確定若是階方陣，則（　AD?。?A) 1或2是的特征值　 (B)若則(C) 若則 (D)若1不是的特征值，則設(shè)為階可逆矩陣，則（ B ）（A）若，則；（B）總可以經(jīng)過初等變換化為；（C）則；（D）以上都不對(duì)．三、（每小題7分，滿分14分）計(jì)算行列式 解： 將行列式增加一行、一列 第一行乘以1加到以下各行 第i+1列乘以加到第1列， ＝ 第1列乘以加到第三列 范德蒙行列式四、（本題滿分為10分）設(shè)，其中是的伴隨矩陣，求．解： 兩邊同時(shí)左乘得，即由，則，即五、（本題滿分為7分）若是方程組的基礎(chǔ)解系，證明也是該方程組的基礎(chǔ)解系．證明：由于，同理可以驗(yàn)證也是的解，由題設(shè)知的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含3個(gè)解向量，下面只需證明是線性無關(guān)的．設(shè)整理得由于線性無關(guān)，故有又系數(shù)行列式，故從而線性無關(guān)，是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．六、（本題滿分為12分）設(shè)（1）確定；（2）求一個(gè)可逆矩陣，使.解：（1）由與相似得，即，解得（2）的特征值為1，2，5當(dāng)時(shí)，為，基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，為，基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，為，基礎(chǔ)解系為則，使．七、（本題滿分為12分）問為何值時(shí)，方程組 無解，有唯一解，有無窮多組解？并在有無窮多組解時(shí)求其通解．解： 當(dāng)時(shí)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解．方程組變?yōu)椋?，設(shè)，得即八、（本題滿分為10分）設(shè)二次型 寫出二次型的矩陣表達(dá)式．有配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所做的實(shí)可逆線性變換．判斷是否正定，且說明理由．解：二次型的矩陣表達(dá)式為：做可逆線性變換，即則線性代數(shù)試題（二）一、選擇題（每小題3分，共15分）若，則的值為（ B ）(A) 12 (B) －12 (C) 18 (D) 0 提示：設(shè)都是n階矩陣，且 , 則下列一定成立的是（ B ）(A) 或 (B)都不可逆(C) 中至少有一個(gè)不可逆 (D) 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是（ D ）(A) 中含有零向量；(B) 中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例(C) 中每一個(gè)向量都可用其余個(gè)向量線性表示(D) 中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示4. 非齊次線性方程組AX=b中未知量個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣A的秩為r，則（ B ）（A）r=m時(shí)，方程組AX= b有解。（C）m=n時(shí)方程組AX=b有