【正文】 解空間的維數(shù)+結(jié)果為．4）設(shè)為四元非齊次線性方程組，是的三個非零解向量，則的通解為．說明：由43＝1知該方程組對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中應(yīng)包括一個向量，而是的一個解，因此齊次線性方程組的通解為，再由，以上二式相加除以2知，是的一個特解，因此的通解為5）若既是非齊次線性方程組的解，又是的解，則．說明：由是非齊次線性方程組的解，可知為非零向量，因此有非零解，則其系數(shù)行列式必為0，推出．選擇題1）若齊次線性方程組 僅有零解，則（C） 2）線性方程組有唯一解的條件是（B） 只有零解 、都不對 3）若方程組中，方程的個數(shù)少于未知量的個數(shù)，則（B） 一定無解 必有非零解 僅有零解 的解不能確定求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1）解：方程組化為：，設(shè)，解得，基礎(chǔ)解系為：2） 解：方程組化為令，解得：，令，解得：，基礎(chǔ)解系為：，求方程組 的特解．解：方程組化為，令，得，因此方程組的一個特解為：．求下列線性方程組的通解1）解：方程組化為：，設(shè)，得，通解為：2）解：方程組化為：選為自由未知量并令，(注意此處特解的取法)解得，于是該方程組的一個特解為其導(dǎo)出組的同解方程組為， 選為自由未知量并令，解得，于是導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為方程組通解為：（3）四元線性方程組解： 由 知原方程組有無窮多組解． 先求原方程組一個特解，選為自由未知量并令，得，于是該方程組的一個特解為在其導(dǎo)出組中選為自由未知量并令得，令 得，于是導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．綜合題（1） 已知三元非齊次線性方程組有特解，求方程組的通解.解：因為為三元方程組而，所以的基礎(chǔ)解系中含有兩個解向量，由解的性質(zhì)，均是的解，顯然它們線性無關(guān)，可以構(gòu)成的一個基礎(chǔ)解系．由解的結(jié)構(gòu)知的通解為，其中為任意常數(shù)即．（2）取何值時，齊次線性方程組 有非零解？并求出一般解．解：因為所給方程組是含三個方程三個未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當系數(shù)行列式為0時方程組有非零解．由 可得，所以當時原方程組有非零解．當時，原方程組變?yōu)椋x為自由未知量并令并令得， 得于是方程組的一個基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù)．（3）取何值時，齊次線性方程組 有非零解？并求出其通解．解：因為所給方程組是含三個方程三個未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當系數(shù)行列式為0時方程組有非零解．由 可得或時原方程組有非零解． 當時，原方程組系數(shù)矩陣為，選為自由未知量，取，得， 方程組的一個基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù)． 當時，原方程組系數(shù)矩陣為，選為自由未知量，取，得， 方程組的一個基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù)． （4）討論當取何值時方程組無解？有唯一解？有無窮多解？在有無窮多解的情況下求出其通解．解： 當 ，即，時，原方程組無解． 當 ，即，時，原方程組有唯一解． 當 ，即，或者時，原方程組有無窮多解．當時，原方程組中，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系在中令得 一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)． 當時，原方程組中，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系在中令得 一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)．（5）已知線性方程組問方程組何時無解？何時有唯一解？何時有無窮多解？在有無窮多解的情況下求出其通解．解： 當 ，即，或時，原方程組無解． 當 ，即，時，原方程組有唯一解． 當 ，即，且時，原方程組有無窮多解．當且時，原方程組中，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系在中令得 一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)．（6）若是方程組的基礎(chǔ)解系，證明：也是該方程組的基礎(chǔ)解系．證明：由于，同理可以驗證也是的解，由題設(shè)知的一個基礎(chǔ)解系中含3個解向量，下面只需證明是線性無關(guān)的．設(shè)整理得由于線性無關(guān)，故有又系數(shù)行列式，故從而線性無關(guān)，是方程組的一個基礎(chǔ)解系．（7）設(shè)方程組 證明：此方程組對任意實數(shù)都有解，并且求它的一切解．證明： 由于 ，故對任意實數(shù)原方程組都有解． 對，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 ，導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為在中令得 ，原方程組的一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)．（8）設(shè)是（）的兩個不同的解，的一個非零解，證明：若，則向量組線性相關(guān)．證明：因為，所以的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量．由解的性質(zhì)，是的非零解，又題設(shè)中是的非零解，顯然它們線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)滿足 ， 整理得， 從而向量組線性相關(guān)．第五章 矩陣的特征值與矩陣的對角化 矩陣的特征值與特征向量填空題1) 矩陣的非零特征值是 3 ．2) 階單位陣的全部特征值為 1 ，全部特征向量為 全體n維非零實向量 3) 已知三階方陣的特征值為，則的特征值為的特征值為，的特征值為，的特征值為．4) 已知為二階方陣，且，則的特征值為 0，1 ．選擇題1) 設(shè)是階矩陣，若，則的特征值（ C ） 全是零 全不是零 至少有一個是零 可以是任意數(shù)2) 若是階矩陣是可逆陣，則的特征值（ B ） 全是零 全不是零 至少有一個是零 可以是任意數(shù)(3) 設(shè)＝2是可逆矩陣的一個特征值，則矩陣的一個特征值等于（B ） 4) 若為階方陣，則以下結(jié)論中成立的是（ D ）的特征向量即為方程組的全部解向量 ；的特征向量的任一線性組合仍為的特征向量； 與有相同的特征向量； 若可逆，則的對應(yīng)于特征值的特征向量也是的對應(yīng)于特征值的特征向量5) 與階矩陣有相同特征值矩陣為 D 求下列矩陣的全部特征值及特征向量1）解：特征方程為 特征植為當時，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)的特征向量，其中為非零常數(shù)．當時，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)的特征向量，其中為非零常數(shù)．2）解