【正文】 43322??????????? nnnnnn aaaaaaaaaaaa ???? 322321121 ))(1( ????? ??? )11)(( 121 ??? ?niin aaaa ? ： ?????????????????????????。 提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果． (4) nnnnndcdcbabaD????000011112 ?。 (5)1221100000100001axaaaaxxxnnn ?????? ??????????nnnn axaxax ????? ?? 111 ?. 證明 (1)00122222221312 ababaabaabacccc ?? ?????左邊 abababaab22)1(22213?????? ? 21))(( abaabab ???? 右邊??? 3)( ba (2)bzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa??????分開按第一列左邊 bzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayyb??????? ??????002ybyaxzxbxazyzbzayxa分別再分bzayyxbyaxxzbxazzyb??? 5 zyxyxzxzybyxzxzyzyxa 33 ?分別再分 右邊???? 233 )1(yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa (3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(?????????????????dddddcccccbbbbbaaaaa左邊 9644129644129644129644122222141312???????????????ddddccccbbbbaaaacccccc 964496449644964422222????????ddddccccbbbbaaaa分成二項(xiàng)按第二列964419644196441964412222?????????dddcccbbbaaa 949494949464222224232423ddccbbaacccccccc????第二項(xiàng)第一項(xiàng)06416416416412222??ddcccbbaa (4) 444444422222220001adacabaadacabaadacaba??????????左邊 =)()()( 222222222222222addaccabbadacabadacab????????? =)()()(111))()((222 addaccabbadacabadacab????????? = ???? ))()(( adacab 6 )()()()()(00122222 abbaddabbaccabbbdbcab?????????? = ?????? ))()()()(( bdbcadacab )()()()( 11 2222 bdabbddbcabbcc ???????? = ))()()()(( dbcbdacaba ????? ))(( dcbadc ???? (5) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 .,1,2 212122命題成立時(shí)當(dāng) axaxaxaxDn ??????? 假設(shè)對(duì)于 )1( ?n 階行列式命題成立，即 ,122111 ????? ????? nnnnn axaxaxD ? :1列展開按第則 nD 1110010001)1( 11?????? ??xxaxDD nnnn????????右邊??? ? nn axD 1 所以，對(duì)于 n 階行列式命題成立 . n 階行列式 )det( ijaD ? ,把 D 上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?90 、或依 副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)，依次得 nnnnaaaaD11111????? ， 11112nnnnaaaaD????? ，11113aaaaDnnnn????? ， 證明 DDDDD nn ???? ? 32 )1(21 ,)1( . 證明 )det( ijaD ?? nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD2211111111111 )1(?????????????? ?????????? ??nnnnnnnnaaaaaaaa331122111121 )1()1( 7 nnnnnnaaaa?????111121 )1()1()1( ???? ?? DD nnnn 2 )1()1()2(21 )1()1( ??????? ???? ? 同理可證nnnnnnaaaaD????11112)1(2 )1(??? DD nnTnn 2 )1(2 )1( )1()1( ?? ???? DDDDD nnnnnnnn ???????? ???? )1(2 )1(2 )1(22 )1(3 )1()1()1()1( （ 階行列式為 kD k ）： (1)aaDn11?? ,其中對(duì)角線上元素都是 a ，未寫出的元素都是 0； (2)xaaaxaaaxD n???????? 。 (3) 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222?????????????ddddccccbbbbaaaa。 1 第一章 行列式 ： （ 1）381141102??? ； （ 2）bacacbcba （ 3）222111cbacba ； （ 4）yxyxxyxyyxyx???. 解 （ 1） ????381141102811)1()1(03)4(2 ??????????? )1()4(18)1(2310 ???????????? = 416824 ???? = 4? （ 2） ?bacacbcbaccca aab bbc b ab aca c b ????? 3333 cbaabc ???? （ 3） ?222111cbacba 222222 cbbaacabcabc ????? ))()(( accbba ???? （ 4）yxyxxyxyyxyx??? yxyxyxyxyyxx )()()( ?????? 333 )( xyxy ???? 333223 33)(3 xyxxyyxyyxxy ???????? )(2 33 yx ??? ，求下列各排列的逆序數(shù)： （ 1） 1 2 3 4； （ 2） 4 1 3 2； （ 3） 3 4 2 1； （ 4） 2 4 1 3； （ 5） 1 3 … )12( ?n 2 4 … )2(n ； （ 6） 1 3 … )12( ?n )2(n )22( ?n … 2. 解（ 1）逆序數(shù)為 0 （ 2）逆序數(shù)為 4： 4 1， 4 3， 4 2， 3 2 2 （ 3）逆序數(shù)為 5： 3 2， 3 1， 4 2， 4 1,2 1 （ 4）逆序數(shù)為 3： 2 1， 4 1， 4 3 （ 5）逆序數(shù)為 2 )1( ?nn ： 3 2 1 個(gè) 5 2， 5 4 2個(gè) 7 2， 7 4， 7 6 3 個(gè) ……………… … )12( ?n 2， )12( ?n 4， )12( ?n 6，…， )12( ?n )22( ?n )1( ?n 個(gè) （ 6）逆序數(shù)為 )1( ?nn 3 2 1 個(gè) 5 2， 5 4 2 個(gè) ……………… … )12( ?n 2， )12( ?n 4， )12( ?n 6，…， )12( ?n )22( ?n )1( ?n 個(gè) 4 2 1個(gè) 6 2， 6 4 2 個(gè) ……………… … )2(n 2， )2(n 4， )2(n 6，…， )2(n )22( ?n )1( ?n 個(gè) 2311aa 的項(xiàng) . 解 由定義知，四階行列式的一般項(xiàng)為 4321 4321)1( ppppt aaaa?，其中 t 為 4321 ppp 的逆序數(shù)．由于 3,1 21 ?? pp 已固定， 4321 pppp 只能形如 13 □□，即 1324或 t 分別為 10100 ???? 或 22022 ???? ? 44322311 aaaa? 和 42342311 aaaa 為所求 . ： （ 1）????????????71100251020214214； （ 2）?????????????2605232112131412； （ 3）?????????????efcfbfdecdbdaeacab； （ 4）???????????????dcba100110011001 解 (1)711002510202142143432 7cc cc ??0100142310202110214??? 3 = 34)1(143102211014?????? =143102211014??321132 cc cc??1417172001099? =0 (2)2605232112131412?24 cc ?2605032122130412? 24 rr ?0412032122130412? 14 rr ?0000032122130412?=0 (3)efcfbfdecdbdaeacab???=ecbecbecbadf??? =111111111???adfbce = abcdef4 (4)dcba100110011001???21 a