【正文】 分 7 ??? ??? ??? 0 022432431 xxx xxx 基礎(chǔ)解系為 ????????????????01121? ，????????????????10122? 6分 ??? ???? ??? 3522432431 xxx xxx 令 043 ??xx ，得一特解：????????????????0035? 7 分 故原方程組的通解為： ?????????????? ???????????????? ????????????????????101201120035212211 kkkk ??? ，其中 Rkk ?21, 9 分（此題結(jié)果表示不唯一，只要正確可以給分。 (3 分 ) 反證法：設(shè) 12,nr? ? ? ?? 線性相關(guān)，則 ?可由 12, nr? ? ? ?線性表示，即： rr????? ??? ?11 (6 分 ) 8 因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故 ? 必是 0?AX 的解。 (9 分 ). 有上可知 ，12,nr? ? ? ?? 線性無(wú)關(guān)。） 2． 求解 AX A X??，其中 13 2 2 02 1 30 1 0A??????? 解：由 AX A X??得 ? ? 1X A E A??? (3分 ) ? ? 1 2 0 2 2 0, 2 0 3 2 1 30 1 1 0 1 0A E A????????? (6 分 ) 1 0 0 2 2 60 1 0 2 0 30 0 1 2 1 3r ?????????? (8 分 ) 所以 2 2 62 0 32 1 3X??????????? (10 分 ) 3． 解：利用由 0422 ??? EAA 可得： 0))(3( ???? EEAEA 5分 即 EEAEA ??? ))(3( 7 分 故 EA 3? 可逆且)()3( 1 EAEA ??? ? 10 分 4． 求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系． 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3232 3 8 83 2 2 9 52 3 4x x x xx x x xx x x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 14 解：1 1 1 2 32 1 3 8 8()3 2 1 9 50 1 2 3 4Ab?????? ? ? ? ?? ? ???1 1 1 20 1 2 3 40 0 1 1 20 0 0 0 0r????? ? ????? (2 分 ) 1 0 0 2 10 1 0 1 00 0 1 1 20 0 0 0 0r????????? (4 分 )則有 1424342102xxxxxx??????????? (6 分 ) 取 4x 為自由未知量，令 4xc? ，則通解為：123421101210xx cxx??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ??? cR? (8 分 ) 對(duì) 應(yīng) 齊 次 線 性 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 為 ：2111?????????????? (10 分 ) 5． 求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組 ,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示 ． 1 2 3 42 1 2 34 , 1 , 3 , 5 .2 0 1 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 解： ? ?1 2 3 4? ? ? ? = 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 34 1 3 5 0 1 1 1 0 1 1 12 0 1 2 0 1 1 1 0 0 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? 11 0 120 1 1 10 0 0 0?????????? (2 分 ) 12,??為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . (4 分 ) 設(shè) 15 3 1 1 2 2xx? ? ???， 4 1 1 2 2yy? ? ??? 解得 12121xx? ???? ??， 1211yy??? ??. (8 分 ) 則有 3 1 212? ? ???， 4 1 2? ? ??? 6 解 323121232221321 844552),( xxxxxxxxxxxxf ?????? f 的矩陣 ???????????????542452222A (2 分 )A 的特征多項(xiàng)式 )10()1()( 2 ???? ???? (4 分 ) 121 ???? 的兩個(gè)正交的特征向量 ???????????1101p, ????????????1142p 103 ?? 的特征向量 ????????????2213p 正交矩陣 ?????????????32231213223121312340Q 8 分 ) 正交變換 yQx? ：標(biāo)準(zhǔn)形 232221 10 yyyf ??? 四 、 證 明 題 （ 本 題 總 計(jì) 10 分） 若設(shè),2121211 , rr aaabaabab ??????? ??且向量組 raaa , 21 ? 線性無(wú)關(guān)，證明向量組 rbbb , 21 ? 線性無(wú)關(guān) . 證明：設(shè)存在12λ ,λ ,λr R? ， 使得 1 1 2 2 r rb + b + + b =0? ? ? 也即 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0rra a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? 化簡(jiǎn)得 1 2 1 2 2( ) ( ) 0r r r ra a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 16 又因?yàn)?12, , , ra a a 線性無(wú)關(guān)，則122000rrr? ? ????? ? ? ??? ? ? ????? ?? (8 分 ) 解得 12 0r? ? ?? ? ? ? 所以， 1 2 rb , b , , b 線性無(wú)關(guān) . （試卷三） 一、填空題 （本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分） 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列(2 )(2 2) 2nn? 的逆序數(shù)為 設(shè) 4 階行列式 4a b c dd a c dDb d c aa d c b? ，則 11 21 31 41A A A A? ? ? ? 已知 1 10 30 2 70 0 2A???????，則 ? ?1*A ? ? 已知 n階矩陣 A、 B滿足 A B BA?? ，則 ? ? 1EB??? 若 A為 nm? 矩陣，則齊次線性方程組 A?x0只有零解的充分必要條件是 若 A 為 nm? 矩陣，且 ( ) 3 m in{ , }R A n m?? ，則齊次線性方程組 A?x0的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個(gè)數(shù)為 若向量 ? ?1 2 3 T? ?? 與向量 ? ?11T??? 正交，則 ?? 若 三 階 方 陣 A 的 特 征 多 項(xiàng) 式 為2( 1 ) ( 1 )AE? ? ?? ? ? ? ?，則 A? 17 設(shè)三階方陣1223A????????????、12B????????????