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線性代數(shù)課后答案-展示頁

2025-07-07 21:04本頁面
  

【正文】 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|ij|。 解 將第一行乘(1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =[x+(n1)a](xa)n1. (3)。、或依副對角線翻轉(zhuǎn), 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明 因為D=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0。 證明 (c4c3, c3c2, c2c1得) (c4c3, c3c2得) . (4) =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d)。 證明 =(ab)3 . (2)。 解 . (3)。 解 逆序數(shù)為: 3 2 (1個) 5 2, 5 4(2個) 7 2, 7 4, 7 6(3個) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1個) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序數(shù)為n(n1) : 3 2(1個) 5 2, 5 4 (2個) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1個) 4 2(1個) 6 2, 6 4(2個) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1個) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項. 解 含因子a11a23的項的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個, 即24和42. 所以含因子a11a23的項分別是 (1)ta11a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44, (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式: (1)。 解 逆序數(shù)為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3。 解 逆序數(shù)為0 (2)4 1 3 2。 解 =acb+bac+cbabbbaaaccc =3abca3b3c3. (3)。(4)180。(1)180。1180。1180。(1)180。(4)180。第一章 行列式 1. 利用對角線法則計算下列三階行列式: (1)。 解 =2180。3+0180。(1)+1180。8 0180。32180。81180。(1) =24+8+164=4. (2)。 解 =bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2 =(ab)(bc)(ca). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3 =3xy(x+y)y33x2 yx3y3x3 =2(x3+y3). 2. 按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序, 求下列各排列的逆序數(shù): (1)1 2 3 4。 解 逆序數(shù)為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1。 解 逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)。 解 . (2)。 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(ab)3。 證明 . (3)。 證明 =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn1+ +an1x+an . 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時, , 命題成立. 假設(shè)對于(n1)階行列式命題成立, 即 Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設(shè)n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90176。 解 (按第n行展開) =anan2=an2(a21). (2)。 解 根據(jù)第6題結(jié)果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4)。 解 aij=|ij|, =(1)n1(n1)2n2. (6), 其中a1a2 an185。 解 因為 , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因為 , , , , , , 所以, , , , . 9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解? 解 系數(shù)行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當(dāng)m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時, 齊次線性方程組有非零解? 解 系數(shù)行列式為 =(1l)3+(l3)4(1l)2(1l)(3l) =(1l)3+2(1l)2+l3. 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當(dāng)l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解. 第二章 矩陣及其運算 1. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知兩個線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 3. 設(shè), , 求3AB2A及ATB. 解 , . 4. 計算下列乘積: (1)。 解 =(1180。2+3180。 解 . (4) 。 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 設(shè), , 問: (1)AB=BA嗎? 解 AB185。BA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2嗎? 解 (A+B)2185。A2+2AB+B2. (3)(A+B)(AB)=A2B2嗎? 解 (A+B)(AB)185。A2B2. 6. 舉反列說明下列命題是錯誤的: (1)若A2=0, 則A=0。0. (2)若A2=A, 則A=0或A=E。0且A185。0, 則X=Y . 解 取 , , , 則AX=AY, 且A185。Y . 7. 設(shè), 求A2, A3, , Ak. 解 , , , . 8. 設(shè), 求Ak . 解 首先觀察 , , , , , . 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)k=2時, 顯然成立. 假設(shè)k時成立,則k+1時, , 由數(shù)學(xué)歸納法原理知: . 9. 設(shè)A, B為n階矩陣,且A為對稱矩陣,證明BTAB也是對稱矩陣. 證明 因為AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而BTAB是對稱矩陣. 10. 設(shè)A, B都是n階對稱矩陣,證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA. 證明 充分性: 因為AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是對稱矩陣. 必要性: 因為AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩陣的逆矩陣: (1)。 解 . |A|=1185。 解 . |A|=2185。0) . 解 , 由對角矩陣的性質(zhì)知 . 12. 解下列矩陣方程: (1)。 解 . (3)。 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . (2). 解 方程組可表示為 , 故 , 故有 . 14. 設(shè)Ak=O (k為正整數(shù)), 證明(EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 因為Ak=O , 所以EAk=E. 又因為 EAk=(EA)(E+A+A2+ +Ak1), 所以 (EA)(E+A+A2+ +Ak1)=E, 由定理2推論知(EA)可逆, 且 (EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 一方面, 有E=(EA)1(EA). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(EA)+(AA2)+A2 Ak1+(Ak1Ak) =(E+A+A2+ +A k1)(EA), 故 (EA)1(EA)=(E+A+A2+ +Ak1)(EA),兩端同時右乘(EA)1, 就有 (EA)1(EA)=E+A+A2+ +Ak1. 15. 設(shè)方陣A滿足A2A2E=O, 證明A及A+2E都可逆, 并求A1及(A+2E)1. 證明 由A2A2E=O得 A2A=2E, 即A(AE)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2A2E=O得 A2A6E=4E, 即(A+2E)(A3E)=4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2A2E=O得A2A=2E, 兩端同時取行列式得 |A2A|=2, 即 |A||AE|=2, 故 |A|185。0, 故A+2E也可逆.由 A2A2E=O 222。A1A(AE)=2A1E222。(A+2E)A3(A+2E)=4E
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