【正文】 . 證法二 因為e1, e2, , en能由a1, a2, , an線性表示, 所以R(e1, e2, , en)163。n, 所以R(a1, a2, , an)=n, 從而a1, a2, , an線性無關. 17. 設a1, a2, , an是一組n維向量, 證明它們線性無關的充分必要條件是: 任一n維向量都可由它們線性表示. 證明 必要性: 設a為任一n維向量. 因為a1, a2, , an線性無關, 而a1, a2, , an, a是n+1個n維向量, 是線性相關的, 所以a能由a1, a2, , an線性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一n維向量都可由a1, a2, , an線性表示, 故單位坐標向量組e1, e2, , en能由a1, a2, , an線性表示, 于是有n=R(e1, e2, , en)163。n,即R(a1, a2, , an)=n, 所以a1, a2, , an線性無關. 18. 設向量組a1, a2, , am線性相關, 且a1185。k163。0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2163。m), 使lk185。r矩陣, 且A組線性無關. 證明B組線性無關的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)=r. 證明　令B=(b1, , br), A=(a1, , as), 則有B=AK. 必要性: 設向量組B線性無關. 由向量組B線性無關及矩陣秩的性質, 有 r=R(B)=R(AK)163。R(K), 及 R(K)163。r.因此R(K)=r. 充分性: 因為R(K)=r, 所以存在可逆矩陣C, 使為K的標準形. 于是 (b1, , br)C=( a1, , as)KC=(a1, , ar). 因為C可逆, 所以R(b1, , br)=R(a1, , ar)=r, 從而b1, , br線性無關. 20. 設,證明向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn等價. 證明 將已知關系寫成,將上式記為B=AK. 因為,所以K可逆, 故有A=BK 1. 由B=AK和A=BK 1可知向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn可相互線性表示. 因此向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn等價. 21. 已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x=3AxA2x, 且向量組x, Ax, A2x線性無關. (1)記P=(x, Ax, A2x), 求3階矩陣B, 使AP=PB。0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)3, |A|=0. 22. 求下列齊次線性方程組的基礎解系: (1)。 取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T. 因此方程組的基礎解系為 x1=(16, 3, 4, 0)T, x2=(0, 1, 0, 4)T. (2). 解 對系數(shù)矩陣進行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(2, 14)T。 取x2=1, x1=x3=x4= =xn1=0, 得xn=(n1)=n+1。 取xn1=1, x1=x2= =xn2=0, 得xn=2. 因此方程組的基礎解系為 x1=(1, 0, 0, , 0, n)T, x2=(0, 1, 0, , 0, n+1)T, , xn1=(0, 0, 0, , 1, 2)T. 23. 設, 求一個4180。 取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(1, 11)T. 方程組AB=0的基礎解系為 x1=(1, 5, 8, 0)T, x2=(1, 11, 0, 8)T. 因此所求矩陣為. 24. 求一個齊次線性方程組, 使它的基礎解系為x1=(0, 1, 2, 3)T , x2=(3, 2, 1, 0)T . 解 顯然原方程組的通解為, 即, (k1, k2206。 (2) I與II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T。 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(1, 1)T. 因此方程II的基礎解系為 x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(1, 1, 0, 1)T. (2) I與II的公共解就是方程 III: 的解. 因為方程組III的系數(shù)矩陣 , 所以與方程組III同解的方程組為 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(1, 1, 2)T, 方程組III的基礎解系為 x=(1, 1, 2, 1)T. 因此I與II的公共解為x=c(1, 1, 2, 1)T, c206。n. 又R(AE)=R(EA), 可知R(A)+R(AE)=R(A)+R(EA)179。2), A*為A的伴隨陣, 證明. 證明 當R(A)=n時, |A|185。0, |A*|185。n2時, A中每個元素的代數(shù)余子式都為0, 故A*=O, 從而R(A*)=0. 28. 求下列非齊次方程組的一個解及對應的齊次線性方程組的基礎解系: (1)。R). 30. 設有向量組A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(2, 1, 5)T, a3=(1, 1, 4)T, 及b=(1, b, 1)T, 問a, b為何值時 (1)向量b不能由向量組A線性表示。 (3)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)當a=4, b185。R(A, b), 此時向量b不能由向量組A線性表示. (2)當a185。R. 因此 b=(2c+1)a3+(3c1)a2+ca1, 即 b= ca1+(3c1)a2+(2c+1)a3, c206。0, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一點的充分必要條件為: 向量組a, b線性無關, 且向量組a, b, c線性相關. 證明 三直線相交于一點的充分必要條件為方程組, 即有唯一解. 上述方程組可寫為xa+yb=c. 因此三直線相交于一點的充分必要條件為c能由a, b唯一線性表示, 而c能由a, b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a, b線性無關, 且向量組a, b, c線性相關. 32. 設矩陣A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4線性無關, a1=2a2 a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一個解. 由a1=2a2 a3得a12a2+a3=0, 知x=(1, 2, 1, 0)T是Ax=0的一個解. 由a2, a3, a4線性無關知R(A)=3, 故方程Ax=b所對應的齊次方程Ax=0的基礎解系中含一個解向量. 因此x=(1, 2, 1, 0)T是方程Ax=0的基礎解系. 方程Ax=b的通解為x=c(1, 2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, c206。 (2)h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr線性無關. 證明 (1)反證法, 假設h*, x1, x2, , xnr線性相關. 因為x1, x2, , xnr線性無關, 而h*, x1, x2, , xnr線性相關, 所以h*可由x1, x2, , xnr線性表示, 且表示式是唯一的, 這說明h*也是齊次線性方程組的解, 矛盾. (2)顯然向量組h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr與向量組h*, x1, x2, , xnr可以相互表示, 故這兩個向量組等價, 而由(1)知向量組h*, x1, x2, , xnr線性無關, 所以向量組h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr也線性無關. 34. 設h1, h2, , hs是非齊次線性方程組Ax=b的s個解, k1, k2, , ks為實數(shù), 滿足k1+k2+ +ks=1. 證明x=k1h1+k2h2+ +kshs也是它的解. 證明 因為h1, h2, , hs都是方程組Ax=b的解, 所以 Ahi=b (i=1, 2, , s), 從而 A(k1h1+k2h2+ +kshs)=k1Ah1+k2Ah2+ +ksAhs =(k1+k2+ +ks)b=b. 因此x=k1h1+k2h2+ +kshs也是方程的解. 35. 設非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩為r, h1, h2, , hnr+1是它的nr+1個線性無關的解. 試證它的任一解可表示為x=k1h1+k2h2+ +knr+1hnr+1, (其中k1+k2+ +knr+1=1). 證明　因為h1, h2, , hnr+1均為Ax=b的解, 所以x1=h2h1, x2=h3h1, , xnr=h nr+1h1均為Ax=b的解. 用反證法證: x1, x2, , xnr線性無關. 設它們線性相關, 則存在不全為零的數(shù)l1, l2, , lnr, 使得 l1x1+ l2x2+ + l nr x nr=0,即 l1(h2h1)+ l2(h3h1)+ + l nr(hnr+1h1)=0,亦即 (l1+l2+ +lnr)h1+l1h2+l2h3+ +l nrhnr+1=0,由h1, h2, , hnr+1線性無關知 (l1+l2+ +lnr)=l1=l2= =lnr=0,矛盾. 因此x1, x2, , xnr線性無關. x1, x2, , xnr為Ax=b的一個基礎解系. 設x為Ax=b的任意解, 則xh1為Ax=0的解, 故xh1可由x1, x2, , xnr線性表出, 設 xh1=k2x1+k3x2+ +knr+1xnr =k2(h2h1)+k3(h3h1)+ +knr+1(hnr+1h1), x=h1(1k2k3 knr+1)+k2h2+k3h3+ +k nr+1hnr+1. 令k1=1k2k3 knr+1, 則k1+k2+k3 knr+1=1, 于是 x=k1h1+k2h2+ +knr+1hnr+1. 36. 設V1={x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xn206。R滿足x1+x2+ +xn=1},問V1, V2是不是向量空間？為什么？ 解 V1是向量空間, 因為任取 a=(a1, a2, , an)T 206。V1, l206。R,有 a1+a2+ +an=0, b1+b2+ +bn=0, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=0, la1+la2+ +lan=l(a1+a2+ +an)=0,所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)T206。V1. V2不是向量空間, 因為任取 a=(a1, a2, , an)T 206。V1,有 a1+a2+ +an=1, b1+b2+ +bn=1, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=2, 所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)T207。 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . (2). 解 根據(jù)施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩陣是不是正交陣: