【正文】 l)(4l)=0, 所以當l=1時, ，增廣矩陣為 B~,方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數(shù)). 18. 證明R(A)=1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標準形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, , 0)Q1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因為a與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)179。0. 因此l=2時, 方程組無解. (3)要使方程組有有無窮多個解, 必須R(A)=R(B)3, 故 (1l)(2+l)=0, (1l)(l+1)2=0. 因此當l=1時, 方程組有無窮多個解. 16. 非齊次線性方程組當l取何值時有解？并求出它的解. 解　~. 要使方程組有解, 必須(1l)(l+2)=0, 即l=1, l=2. 當l=1時, ~, 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 當l=2時, ~, 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 17. 設. 問l為何值時, 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時求解. 解 B= ~. 要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須 (1l)(10l)185。 (2)無解。 解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 . (4). 解 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). 13. 求解下列非齊次線性方程組: (1)。1且k185。 (3)R(A)=3. 解 . (1)當k=1時, R(A)=1。 解 (下一步: r1r2, r22r1, r37r1. ) ~(下一步: r33r2. ) ~, 矩陣的秩是2, 是一個最高階非零子式. (3). 解 (下一步: r12r4, r22r4, r33r4. ) ~(下一步: r2+3r1, r3+2r1. ) ~(下一步: r2184。 解 因為 , 所以 . (2)設, , 求X使XA=B. 解 考慮ATXT=BT. 因為 , 所以 , 從而 . 5. 設, AX =2X+A, 求X. 解 原方程化為(A2E)X =A. 因為 , 所以 . 6. 在秩是r 的矩陣中,有沒有等于0的r1階子式? 有沒有等于0的r階子式? 解 在秩是r的矩陣中, 可能存在等于0的r1階子式, 也可能存在等于0的r階子式. 例如, , R(A)=3. 是等于0的2階子式, 是等于0的3階子式. 7. 從矩陣A中劃去一行得到矩陣B, 問A, B的秩的關系怎樣? 解 R(A)179。(5). ) ~(下一步: r13r2, r3r2, r4r2. ) ~. (4). 解 (下一步: r12r2, r33r2, r42r2. ) ~(下一步: r2+2r1, r38r1, r47r1. ) ~(下一步: r1171。2. ) ~. (3)。(2). ) ~(下一步: r3r2. ) ~(下一步: r3184。, 所以 . 30. 求下列矩陣的逆陣: (1)。0, 則|A*|=|A|n1。0, 從而A*也可逆. 因為A*=|A|A1, 所以 (A*)1=|A|1A. 又, 所以 (A*)1=|A|1A=|A|1|A|(A1)*=(A1)*. 18. 設n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, 證明: (1)若|A|=0, 則|A*|=0。, 又由 A2A2E=O222。0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2185。 解 . (2)。0, 故A1存在. 因為 , 所以 . (3)。0, 但X185。 解 取, 則A2=A, 但A185。A2B2. 因為, , , 而 , 故(A+B)(AB)185。BA. 因為, , 所以AB185。1)=(10). (3)。 解 . (2)。 解 (按第1行展開) . 再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n2bnD2n2, 即D2n=(andnbn)D2n2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|ij|。、或依副對角線翻轉, 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明　因為D=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0。 證明 =(ab)3 . (2)。 解 逆序數(shù)為: 3 2 (1個) 5 2, 5 4(2個) 7 2, 7 4, 7 6(3個) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1個) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序數(shù)為n(n1) : 3 2(1個) 5 2, 5 4 (2個) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1個) 4 2(1個) 6 2, 6 4(2個) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1個) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項. 解 含因子a11a23的項的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構成的排列, 這種排列共有兩個, 即24和42. 所以含因子a11a23的項分別是 (1)ta11a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44, (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式: (1)。 解 逆序數(shù)為0 (2)4 1 3 2。(4)180。1180。(1)180。第一章 行列式 1. 利用對角線法則計算下列三階行列式: (1)。3+0180。8 0180。81180。 解 =bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2 =(ab)(bc)(ca). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3 =3xy(x+y)y33x2 yx3y3x3 =2(x3+y3). 2. 按自然數(shù)從小到大為標準次序, 求下列各排列的逆序數(shù): (1)1 2 3 4。 解 逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)。 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(ab)3。 證明 =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn1+ +an1x+an . 證明 用數(shù)學歸納法證明. 當n=2時, , 命題成立. 假設對于(n1)階行列式命題成立, 即 Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉、或逆時針旋轉90176。 解 根據(jù)第6題結果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4)。 解 因為 , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因為 , , , , , , 所以, , , , . 9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 =(1l)3+(l3)4(1l)2(1l)(3l) =(1l)3+2(1l)2+l3. 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解. 第二章　矩陣及其運算 1. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知兩個線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 3. 設, , 求3AB2A及ATB. 解 , . 4. 計算下列乘積: (1)。2+3180。 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 設, , 問: (1)AB=BA嗎? 解 AB185。A2+2AB+B2. (3)(A+B)(AB)=A2B2嗎? 解 (A+B)(AB)185。0. (2)若A2=A, 則A=0或A=E。0, 則X=Y . 解 取 , , , 則AX=AY, 且A185。 解 . |A|=1185。0) . 解 , 由對角矩陣的性質知 . 12. 解下列矩陣方程: (1)。 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . (2). 解 方程組可表示為