【正文】 性：x179。 預備知識一、向量的內積定義1：設有n維向量x=(x1,x2,L,xn)，y=(y1,y2,L,yn)，令TT[x,y]=x1y1+x2y2+L+xnyn，稱[x,y]為向量x與y的內積。nx=b(2)性質1：若h1,h2都是Ax=b的解，則h1h2是Ax=0的解。性質2：若x是Ax=0的解，則kx也是Ax=0的解。R(A)+R(B)性質2：R(AB)163。三、矩陣的秩與向量組的秩的關系定理3：對矩陣A=(aij)m180。推論3：一個向量組的任意兩個最大無關組所含向量個數(shù)相等。注意：上述定理提供了求向量組最大無關組的方法 定理2：設向量組B:b1,b2,L,br可由向量組A:a1,a2,L,as線性表示，(1)若向量組B線性無關，則r163。講教材P118例1二、向量組的秩 定義2設向量組A0:a1,a2,L,ar是向量組A:a1,a2,L,am(m179。如果向量組A和向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。i163。（部分相關，整體相關；整體無關，部分無關。推論2：m(mn)個n維向量組成的向量組一定線性相關。2)線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其余m1個向量線性表示。a=0② 兩個向量a,b的向量組線性相關219。若它有非零解，即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,L,kn，使得k1a1+k2a2+L+knan=0。顯然，向量b能由向量組A線性表示，也就線性方程組：x1a1+x2a2+L+xnan=b有解。nx=b可以寫成：x1a1+x2a2+L+xnan=b定義：設向量組A:a1,a2,L,am，對于數(shù)k1,k2,L,km，我們稱k1a1+k2a2+L+kmam為向量組A的一個線性組合，k1,k2,L,km稱為這個線性組合的系數(shù)。247。向量組；或A=231。231。232。231。a2j247。a1j246。n248。247。a=231。231。 向量組的線性相關性一、n維向量及其線性運算：由n個數(shù)a1,a2,L,an組成的有序數(shù)組稱為n維向量。05247。238。2=k，得其通解為：237。即236。232。232。232。1101246。0010247。247。當l=1時，B=231。1121246。248。248。247。231。231。230。231。231。231。247。174。231。0021246。1,l185。lx1+(2l1)x2+3x3=1239。例問l取何值時，下列線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。232。x247。247。R)x8/93239。247。247。239。231。x1=8x4230。232。231。174。0247。109231。0246。232。231。231。0130247。解：231。231。1230246。130246。x1+2x2+3x3=0239。nx=0有非零解219。R(A)R(A,b)齊次線性方程組定理2：對于齊次線性方程組Am180。 線性方程組有解的條件一、線性方程組解的判定非齊次線性方程組定理1：對于非齊次線性方程組Am180。00063a0247。247。0111a2231。a3246。232。231。0111a20111a2231。 174。231。231。112a3246。3554247。247。1231。故R(A)=3230。232。247。231。00454247。解：231。231。230。230。的秩231。231。*(3)若R(A)n1，則A的任意一個n1階子式都為零。1。故A*可逆，從而R(A)=n(2)若R(A)=n1，則AA=AE=0。0,R(A)n1238。R(A)=n236。ErO246。min{R(A),R(B)}⑨ 若Am180。R(A)+R(B)；特別地，當B為列向量b時，有R(A)163。231。R(A)163。n矩陣A的k階子式共有Cm個。0000247。1111例：A=231。230。 矩陣的秩一、k階子式的概念2m,n})，其交叉處的k個元素定義：在m180。190。190。174。(E|A1)或（解矩陣方程AX=B或XA=B（A可逆）初等變換法：(A|B)190。初等行變換190。AE由定理4可知，方陣A可逆219。n定理4：設A為可逆矩陣，則有限個初等矩陣P1,P2,L,Pk，使得A=P1P2LPk 推論：m180。n 247。230。三、初等變換求逆矩陣定理2：對任意一個m180。232。232。10247。21247。01/2247。1247。01246。0246。232。232。232。231。231。231。231。247。230。230。230。232。231。1二、初等矩陣定義：由n階單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。=231。2A1246。1230。k247。O230。231。k230。230。230。1246。O246。O246。O246。n247。230。231。248。232。247。231。232。247。231。1232。230。1230。248。246。247。246。ca248。247。a248。db246。解：A=adbc，A=231。247。ab246。0，則lA可逆，且(lA)1111=A；1=lA1；1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB=AC，則B=C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； =B1A1（穿脫原理）T1=(A1)T；⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)1=(A1)*；⑦若A可逆，則(A*)T=(AT)*；1⑧若A可逆，則A=A1*⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*=B*A*（穿脫原理）證明： ①因為AA1=E，由推論可知，(A1)1=A②因為lA1lA1=AA1=E，由推論可知，(lA)=11lA11③(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E，由推論有，(AB)11④因為A可逆，則AAB=AAC，即EB=EC，故B=C=B1A1⑤AT(A1)T=(A1A)T=ET=E，由推論有，(A)⑥因為A可逆，故A1T1=(A1)T=1*AA1A，且A*=A*=E，從而(A*)1=A； AAAA1又A(A)=(A)A11*1*=A1E，即(A1)*=AA1E=1A A所以(A)*1=(A1)*。同時，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。0，故有**A1*1*A=AA=E AA=1*A。A=E。 逆矩陣一、逆矩陣定義：對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B=A。同理可得A*A=AE。A1nA2nLAnn248。247。247。247。=231。231。231。230。0,i185。a232。231。248。A22LAn2247。A232。231。性質：(1)(A)=A；(2)(A+B)=A+B；(3)(lA)=lA；(4)穿脫原理：(AB)=BA對稱矩陣和反對稱矩陣TT設A=(aij)n180。248。a22L0247。231。a11231。0Lann247。247。231。248。0247。231。l0L231。0Lln247。247。0L1247。247。M231。230。0En=231。f(A)=a0Am+a1Am1+L+am1A+amE仍為一個n階方陣，四、習題P61 T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6167。232。232。01247。00247。；231。（3）A=X=231。230。230。矩陣的乘法滿足下列運算律：(1)結合律：(AB)C=A(BC)(2)l(AB)=(lA)B=A(lB)(3)分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA例2：舉例說明下列命題是錯誤的（1）若A=0，則A=0；2（2）若A=A，則A=0或A=E； 2（3）若AX=AY，且A185。00248。36248。247。=231。2247。24246。8BA=231。12248。231。 =231。2247。1632246。 解：AB=231。12232。231。230。231。n=Am180。n矩陣C=(cij)m180。n矩陣，l,m為數(shù))：(1)(lm)A=l(mA)；(2)(l+m)A=lA+mA；(3)l(A+B)=lA+lB；(4)1A=A；(5)lA=0219。Mlam2M235。la11234。n，則A+B=(aij+bij)m180。232。M231。231。j=1,2,L,n)230。矩陣的相等：Am180。M247。La2n247。231。a11231。二、習題P50T2 T3 ；P51 總復習題：T1 T2 T3T6第三章矩陣教學目標與要求，掌握矩陣的3種運算(加法、數(shù)乘、乘法)，以及它們的運算律(單位陣、對角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、轉置矩陣、對稱和反對稱陣)及其性質，掌握方陣行列式的性質，熟悉逆矩陣的運算規(guī)律 ，以及常用結論，掌握初等變換求逆矩陣的方法 ，會用初等變換求矩陣的秩 教學重點，以及初等變換法求逆矩陣，以及初等變換法求矩陣的秩 教學難點，以及求逆的方法 ，以及求秩的方法167。0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D=0。0（這里A=(aij)n180。239。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。即ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn(i185。即可按第i行展開D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin(i=1,2,L,n)或可按第j列展開D=a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnj(j=1,2,L,n)14如：322143321443=1A11+2A12+3A13+4A14=1A11+4A21+3A31+2A41 21講解P42例2和例3三、范德蒙德行列式1x1Dn=x12Mx1n1 1x22x2Mn1x21x32x3M1LL1xn2=xnM1163。123例：②如211111211234=234；③如339=32113***123123④如456=123+333；112112112111111111111⑤如2334=012=012=012=0 45345012000注意：計算行列式的常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開公式(下一節(jié))。n的行列式為D=A，則D有如下性質：T①A=A；②交換兩行（列），則D變號；③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。即n階行列式是指n!項取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和。248。La2n247。231。a11231。)=4+0+2+1+0=7（奇排列）例：t(25431；)=14+1+2+1+0=8（偶排列）t(5243。a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 為三階行列式。247。ax+ax+ax=b231。239。2從而x1= 二、三階行列式 D1D,x2=2。(a11a22a12a21)x1=b1a22b2a12（2）238。a21x1+a22x2=b2232。（1），其系數(shù)矩陣為A=231。a11x1+a12x2=b1230。O248。0L00L0248。232。n174。247。00L00L0246。0231。0231。三、矩陣的標準形定理：任意一個m180。247。La2n247。231。a11231。五、習題P11 T1(2)T2167。中，若mn（即方程LLLLLLLLLLLL239。236。239。x3=1+x4236。x1=22x2x4，亦即一般解為237。248。00000247。00111247。231。247。12121246。248。00000247。12214247。174。24115247。247。230。230。例2：解方程組237。248。0016247。稱為行最簡形矩陣。其中231。231。1246。232。 231。0101247。231。230。232。232。231。231。174。247。247。230。248。248。0115247。0115247。231。247。247。2131246。3從上面可以看出，整個消元過程和回代過程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。x=6238。x2=1239。237。x1=9239。3236。4xx=2239。4x2x3=2，237。2x1x2+3x3=1239。2x+2x=63238。236。M247。m1am2Lamn二、線性方程組的消元法b1246。a21a22La2n數(shù)矩陣，稱B=231。a232。231。Lamn247。247。239。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。 線性方程組的基本概念一、基本概念定義：m個方程n個未知數(shù)的線性方程組為如下形式：236。LLLLLLLLLLLL239。方程組(1)a12a22Mam2La1n246。247。a11231。231。231。a232。為增廣矩陣。248。4x1+2x2+5x3=4239。2x1x2+3x3=1236。解：237。xx=5239。23238。2x1=18236。239。x2=1，237。x=6239。3238。230。231。231。174。231。231。232。232。2131246。213231。231。0115247。174。00318247。0016247。248。20018246。247。231。0101247。0016247。248。1009246。247。0101247。231。232。x1+2x2x3+2x4=1239。1解：2121246。12121246。231。B=231。00333247。231。231。232。230。231。174。231。231。232。x1+2x2+x4=2236。x3x4=1238。21令x2=c1,x4=c2，得方程組的通解為237。x4=c2注意：自由未知量的取法并不唯一。2112222nn定理：在齊次線性方程組237。am1x1+am2x2+L+amnxn=0的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)），則它必有非零解。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。M231。247。M247。二、矩陣的初等行(列)變換①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。231。0231。232。MMMM247。即Am180。O247。247。 247。 二階和三階行列式 一、二階行列式236。引例：對于線性方程組237。238。236。其中D=，D1=aab2Dx=D21222238。a11a12231。a21239。311322333a11稱D=A=detA=a21a13246。248。（n級排列共有n!個）定義2：在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記作t。n230。21M231。247。Lamn247。表示對1,2,L,n這n個數(shù)的所有排列p1p2Lpn求和。三、行列式的性質設n階矩陣A=(aij)n180。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），則D不變。：***中，a11=1的余子式為M11=412，代數(shù)余子式為 23411234A11=(1)1+1M11=M11，a21=4的余子式為M21=412，代數(shù)余子式為341A21=(1)2+1M21=M21，二、展開公式定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和。(xjxi)n1n1x3Lxn推論：行列式某行（列）的元素