【正文】 對于非齊次線性方程組Am180。性質(zhì)2：若x是Ax=0的解，h是Ax=b的解，則x+h是Ax=b的解。講教材P132 例3和例4三、習(xí)題P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T4 T5 T6至T13第五章 特征值和特征向量矩陣的對角化教學(xué)目標(biāo)與要求，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì) ，掌握它們的性質(zhì)及其求法 ，掌握相似矩陣的性質(zhì)，熟悉實(shí)對稱矩陣的對角化方法 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。內(nèi)積的性質(zhì)：(1)[x,y]=[y,x](2)[lx,y]=l[x,y](3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z](4)[x,x]179。當(dāng)x=1時(shí)，稱x為單位向量。0(2)齊次性：定義3：當(dāng)x185。0時(shí)，稱q=arccoslx=lx(3)三角不等式：x+y163。xy[x,y]xy為n維向量x與y的夾角。定義5：若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。定理1：若n維向量a1,a2,L,ar是一組兩兩正交的非零向量，則a1,a2,L,ar線性無關(guān)。令[a2,b1]b；L；[b1,b1]1[a,b][a,b][ar,br1]b。cosq例如：En，231。sinq232。230。231。sinq246。231。都是正交陣。cosq248。231。247。248。A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。1,i=jATA=E219。(i,j=1,2,L,n)（其中A=(a1,a2,L,an)）0,i185。定理3：設(shè)A,B都是n階正交方陣，則(1)A=177。定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換。 特征值和特征向量T1一、特征值與特征向量的概念定義1：設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)l和非零列向量x，使得Ax=lx，稱l為方陣A的特征值，非零列向量x稱為A的屬于特征值l的特征向量。(AlE)x=0 或者(lEA)x=0(AlE)x=0有非零解219。特征矩陣：(AlE)或者(lEA)lEA=0a11l特征多項(xiàng)式：AlE=a12Man2LOa1na2nM=j(l)a21Man1a22lLLannlnn1=al+al+L+an1l+an0[a0=(1)n]二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟(1)求出特征方程j(l)=AlE=0的全部根l1,l2,...,ln，即是A的特征值；(2)對于每個(gè)特征值li求解線性方程組(AliE)x=0，得出的基礎(chǔ)解系就是A的屬于特征值li的特征向量；基礎(chǔ)解系的線性組合就是A的屬于特征值li的全部特征向量。性質(zhì)2：設(shè)l是方陣A的特征值，k,m206。性質(zhì)3：設(shè)n階方陣A=(aij)n180。l=229。ai=1nii=tr(A)稱為A的跡；(2)213。 0是A的特征值；A可逆219。0219。講教材P154 例5和例6性質(zhì)4：l1,l2,L,lm是方陣A的互異特征值，其對應(yīng)的特征向量依次為p1,p2,L,pm，則向量組p1,p2,L,pm線性無關(guān)。 相似矩陣一、相似矩陣的概念定義1：設(shè)A,B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使PAP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B，可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。定理2：n階方陣A可對角化219。推論：n階方陣A有n個(gè)互異的特征值222。定理3：n階方陣A可對角化219。即A的幾何重?cái)?shù)nR(AlE)等于代數(shù)重?cái)?shù)k。ni=1i=n。四、習(xí)題P162 T1T2T3T4T5T6167。定理2：實(shí)對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。二、實(shí)對稱矩陣的相似理論定理4：任意實(shí)對稱矩陣A都與對角矩陣相似。1T定理5：設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP=PAP=L。三、實(shí)對稱矩陣對角化方法n階實(shí)對稱矩陣A對角化的步驟：(1)解特征方程AlE=0，求出A的全部特征值l1,l2,...,ls，其中l(wèi)i是ni重特征值（i=1,2,L,s），s229。(2)對每個(gè)li，解齊次線性方程組(AliE)x=0，得基礎(chǔ)解系ai1,ai2,...,aini；(3)利用施密特正交化方法將ai1,ai2,...,aini正交化，得正交向量組bi1,bi2,...,bini，再單位化得規(guī)范正交向量組gi1,gi2,...,gini（i=1,2,L,s）；(4)令P=(g11,g12,L,g1n1,g21,g22,L,g2n2,L,gs1,gs2,L,gsns)，則P為正交矩陣，且P1AP=PTAP=L，其中L=diag(l1,L,l1,l2,L,l2,L,ls,L,ls)，這里li的個(gè)數(shù)為。 二次型及其矩陣表示 一、二次型及其矩陣表示定義1：含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：22f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a22x2+L+annxn+ +2a12x1x2+2a13x1x3+L+2an1,nxn1xn稱為二次型。為了便于用矩陣討論二次型，令aij=aji，則二次型為：f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+2 a21x2x1+a22x2+L+a2nx2xn+.................................................2 an1xnx1+an2xnx2+L+annxn=230。231。L231。a232。anijxixjLa1n246。x1246。231。La2n247。x2247。M247。231。247。x247。Lann248。n248。由此可見，對稱矩陣A與二次型f是一一對應(yīng)關(guān)系，故稱對稱矩陣A為二次型f的矩陣，也稱二次型f為對稱矩陣A的二次型，R(A)也稱為二次型f的秩。x1=c11y1+c12y2+L+c1nyn239。22112222nn定義2：稱237。..........239。xn=1y1+2y2+L+nyn的一個(gè)線性變量替換，簡稱線性變換。c11231。c21其中，矩陣C=231。231。n1Lc1n246。c22Lc2n247。247。2Ln247。c12230。230。231。231。x231。231。記x=231。y=231。則線性變換可用矩陣形式表示：x=Cy。247。247。x247。y247。n248。n248。0，則稱線性變換x=Cy為非退化的(或滿秩變換)；否則，稱為退化的(或降秩變換)。因此，我們有f(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy，其中B=CTAC，而且 BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B三、矩陣的合同1．定義3：設(shè)A,B為兩個(gè)n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C，使得CAC=B，則TB。2．合同的性質(zhì)A① 反身性：對任意方陣A，都有A~B，則B~A② 對稱性：若A~C B,B~C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個(gè)實(shí)對稱矩陣A都合同于一個(gè)對角陣L（L是以A的n個(gè)特征根為對角元的對角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC=L。 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形T一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形222定義：形如d1x1的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。步驟：若f中含變量項(xiàng)xi的平方項(xiàng)，則先將所有含xi的項(xiàng)合并在一起配成完全平方，依次類推直到都配成完全平方項(xiàng)；若f中不含任何平方項(xiàng)，則令x1=y1+y2,x2=y1y2，xk=yk，使f中出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按照前面的思路進(jìn)行配方。22即存在正交變換x=Qy使f化為標(biāo)準(zhǔn)形：（其中l(wèi)1,l2,L,lnl1x12+l2x2+L+lnxn是對稱矩陣A的全部特征根）講書上P176 例1（3）初等變換法由于任意對稱陣A都存在可逆矩陣C，使CAC為對角陣；由于C是可逆陣，故可表TTTT示一系列初等矩陣的乘積。即（三、習(xí)題P181T1T3T4167。合同變換190。190。()EC一、慣性定理和規(guī)范形定理1：設(shè)實(shí)二次型f=xTAx的秩為r，有兩個(gè)實(shí)滿秩線性變換x=Cy及x=Pz，222使得 f=k1y1+L+kpy2,2,L,r)（1）pkp+1yp+1Lkryr(ki0,i=12222及f=l1z1+L+lqzqlq+1zq,2,L,r)+1Llrzr(li0,i=1則p=q；且稱p為二次型f的正慣性指數(shù)，rp為二次型f的負(fù)慣性指數(shù)。慣性定理的等價(jià)表述：任意一個(gè)秩為r的實(shí)二次型f都可以經(jīng)過滿秩線性變換化為規(guī)范形，且其規(guī)范形是唯一的。定理2：實(shí)對稱陣A與B合同219。A與B的規(guī)范形相同219。0，都有f(x)0，則稱f為正定二次型，并稱其對稱矩陣A為正定矩陣。A的n個(gè)特征值全為正；219。f的正慣性指數(shù)p=n； 219。A與單位矩陣合同； 219。教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)，行列式按行（列）展開，克萊姆法則解方程組。本章主要閱讀文獻(xiàn)資料：，《線性代數(shù)》(第4版)，中國人民大學(xué)出版社，2008年2月。《線性代數(shù)》（第二版），科學(xué)出版社，2010年8月。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 二階與三階行列式一．二階行列式引入新課：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。但這個(gè)公式不好記，為了便于記這個(gè)公式，于是引進(jìn)二階行列式的概念。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項(xiàng)b1，可得到另一個(gè)行列式，用字母D2表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：a11b2b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。這個(gè)公式更不好記，為了便于記它，于是引進(jìn)三階行列式的概念。三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號，從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來表示，即有同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)得到另外三個(gè)三階行列式，分別記為于是有就可以按照三階行列式的定義，它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達(dá)式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。a10例5 1a0＞0的充分必要條件是什么？411a10a10解：1a0=a21，即a＞1時(shí)，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要條件a＞1 411作業(yè)：課本35頁，1,2,3,4,5第三篇：線性代數(shù)電子教案LA22B：A=(aij)n180。a11234。234。235。233。ALa2nA*=234。ML234。235。LAn2MLAnnn的共軛矩陣記作A=(aij)m180。 逆矩陣定義：對于An180。n滿足AB=BA=E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A1=B．定理1 若An180。n為可逆矩陣219。0；An180。A1=證必要性．已知A1存在，則有AA1=E222。detA185。0，則有A*A*=A=EAA=AA=(detA)E222。0時(shí), 亦稱A為非奇異矩陣；detA=0時(shí), 亦稱A為奇異矩陣．推論1 對于An180。n滿足AB=E, 則A可逆, 且A1=B．證 AB=E222。detA185。A可逆A1=A1E=A1(AB)=(A1A)B=EB=B推論2 對于An180。n滿足BA=E, 則A可逆, 且A1=B．算律：(1)A可逆222。0222。n與Bn180。AB可逆, 且(AB)1=B1A1．對于AB, 取C=B1A1, 有(AB)C=(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=E．(4)A可逆222。detA1=1． detA(6)An180。n都可逆222。310249。541249。, A1=1A*=1234。例1 A=234。55234。234。235。01n滿足A22A4E=O, 求(A+E)1． 解A22A4E=O222。(A+E)(A3E)=E222。nx=b, detA185。x=A1b(2)求線性變換的逆變換 y=An180。0222。m可逆, Bn180。n已知, 則AX=C222。X=CB1AXB=C222。21249。510249。, C=234。 滿足AX=C+2X, 求X．例3 設(shè)A=234。234。35235。233。233。233。101232071234。234。5234。1235。234。35234。1233。 滿足A*X=A1+2X, 求X．例4 設(shè)A=234。111110249。 =234。4234。1, b174。3, ? ,z174。123249。011249。234。 , A1=234。012234。235。1249。67249。9249。81249。234。=234。234。234。 , A234。155220234。43234。234。235。235。解密：A1234。234。233。=234。234。233。 , A1234。234。233。234。235。235。235。235。235。 分塊矩陣233。1A=234。0234。0233。1A=234。0234。0011249。A11021235。003010=[B1021003 B2B3B4]用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個(gè)小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．特點(diǎn)：同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”；同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”．233。233。MMMB=M, m180。234。As1LAsr235。n233。234。MMA+B=234。 234。As1+Bs1LAsr+Bsr 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．：kAm180。kA11LkA1r249。=234。235。l233。233。MMMB=M, l180。234。As1LAst235。B1j249。MBtjC11LC1r249。MM235。1234。234。235。0=233。234。A2110420249。B111235。0 E0233。12B=234。10234。11E249。AB=234。A21B11+B21233。E249。1=234。235。1 31nT233。A11LA1r249。MMA=, 234。A1Tr234。As1LAsr235。 T 特點(diǎn)：“大轉(zhuǎn)”+“小轉(zhuǎn)”：設(shè)A1,A2,L,As都是方陣, 記233。A1,A2,L,As)=234。234。249。OA2性質(zhì)：(1)detA=(detA1)(detA2)L(detAs)(2)A可逆219。A1233。=234。234。235。 As1233。233。234。O235。021A111A=234。OO249。233。O234。 =111234。235。233。1M例3 設(shè)Am180。n都可逆, Cn180。, 求． CB0222。X1M1=234。X3X2249。AO249。X1234。234。3236。239。239。238。233。235。 236。AX=O239。239。238。A1O249。11BCAB區(qū)分行 取消運(yùn)行顯示 % 注釋標(biāo)記: 具有多種應(yīng)用功能(區(qū)分大小寫): 預(yù)定義變量: anspi 相關(guān)命令: format(顯示格式 rat long short)who whos clear 文件（純文本文件，）建立 修改 保存 運(yùn)行二、Matlab 與線性代數(shù)的基本運(yùn)算數(shù)字矩陣：A=[1 2 3。3, 2, 1] 或 A=[1 2 3 2 1]符號矩陣(顯示出來元素之間有逗號): 定義符號變量 sym syms用法：(1).sym(‘[a,b,c。b c a]’)(2).syms a b cA=[a b c。Ax=b，其中A為n階可逆陣法1： x=inv(A)*b 或 x=A^(1)*b法2： U=rref([A,b])% 返回值U為矩陣的行最簡形，最后一列即為解x。Ax=0, 其中A 為m*n 矩陣，R(A)=r法1：U=rref(A), 選定自由變量，得到一組基礎(chǔ)解系法2：z=null(A)% z的列向量為Ax=0的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。Ax=b, 其中A 為m*n 矩陣, 求通解U=rref([A,b])從最后一列找特解，前n列找導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，然后按格式寫出Ax=b的通解。）236。239。123