線性代數(shù)期末試題-閱讀頁(yè)
2025-01-21 17:51本頁(yè)面
【正文】 ( | )A E A? ，用初等行變換求 1( | ( ) )E A E A?? 。故 ?????????????523301100B。 10 2 1 1 0 1( ) 3 3 2 1 1 31 2 1 3 2 6AE ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，因此10 0 1( ) 1 0 33 2 5B A E A?????? ? ? ??????。 3．解法一：由方程組有無(wú)窮多解，得 ( ) ( | ) 3R A R A b??，因此其系數(shù)行列式11| | 1 1 2 011aAa? ? ?? 。 當(dāng) 1??a 時(shí)，該方程組的增廣矩陣 1 1 1 1( | ) 1 1 2 11 1 1 1Ab??????? ? ? ???????11 0 1230 1 020 0 0 0?????????????? 于是 ( ) ( | ) 2 3R A R A b? ? ?，方程組有無(wú)窮多解。 解法二：首先利用初等行變換將其增廣矩陣化為階梯形。因此 21 (1 ) ( 4 ) 1 02 a a a? ? ? ? ?， 7 即 1a?? 。 4．解：首先寫出二次型的矩陣并求其特征值。 再求特征值的特征向量。 解方程組 ( 7 ) 0A E x??得對(duì)應(yīng)于特征值為 3 7??? 的一個(gè)特征向量? ?3 1 2 2 T? ??。 最后將 ? ?1 2 1 0 Tp ?? ， 2 24 155Tp ??? ????， ? ?3 1 2 2 T? ??單位化后組成的 矩 陣 即 為 所 求 的 正 交 變 換 矩 陣????????????????????3235032155455311552552，其標(biāo)準(zhǔn)形為23221 722 yyyf ??? 。02 ??BAB ?? ? 02 ?? BEA ，故 2 為 A 的特征值，又 B 的秩為 2，即特征值 2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故 A 的特征值為 1， 2， 2， 2。因?yàn)閷?duì)應(yīng)于特征值 1， 2 各有一個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)于特征值 8 2 有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以 A 有四個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故 A 可相似對(duì)角化。故 EA 3? =10。 證明： ? ? ? ? ? ?TTT BAABBAAB ??? = TTTT BAAB ? = ? ?BABA ??? = BAAB? ， 所以 BAAB? 為對(duì)稱矩陣。 證明：由 ? ? AAAA TTT ? 知 AAT 為對(duì)稱矩 陣。
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