【正文】 特正交化方法是將一組線性無關(guān)的向量a1,a2,L,ar，化為一組與之等價(jià)的正交向量組b1,b2,L,br的方法。若正交向量組中的每一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。定義4：當(dāng)[x,y]=0時(shí)，稱向量x與y正交。x+y(4)柯西不等式：[x,y]163。0，y185。向量的長度具有以下性質(zhì)：(1)非負(fù)性：x179。0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立定義2：令x=[x,x]=22x12+x2+L+xn，稱為n維向量x的長度（或范數(shù)）。 預(yù)備知識一、向量的內(nèi)積定義1：設(shè)有n維向量x=(x1,x2,L,xn)，y=(y1,y2,L,yn)，令TT[x,y]=x1y1+x2y2+L+xnyn，稱[x,y]為向量x與y的內(nèi)積。*定理2：設(shè)h是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，x1,x2,L,xnr是對應(yīng)的導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=b的通解為h=h*+k1x1+k2x2+L+knrxnr其中k1,k2,L,knr為任意常數(shù)。nx=b(2)性質(zhì)1：若h1,h2都是Ax=b的解，則h1h2是Ax=0的解。定理1：若n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩R(A)=rn，則Ax=0的基礎(chǔ)解系恰含有nr個(gè)線性無關(guān)的解向量。性質(zhì)2：若x是Ax=0的解，則kx也是Ax=0的解。 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對于齊次線性方程組Am180。R(A)+R(B)性質(zhì)2：R(AB)163。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。三、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系定理3：對矩陣A=(aij)m180。定理239。推論3：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等。推論1：兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量。注意：上述定理提供了求向量組最大無關(guān)組的方法 定理2：設(shè)向量組B:b1,b2,L,br可由向量組A:a1,a2,L,as線性表示，(1)若向量組B線性無關(guān)，則r163。顯然，最大無關(guān)組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無關(guān)組等價(jià)。講教材P118例1二、向量組的秩 定義2設(shè)向量組A0:a1,a2,L,ar是向量組A:a1,a2,L,am(m179。命題2：若矩陣A經(jīng)過初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價(jià)。如果向量組A和向量組B能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。四、習(xí)題P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)167。i163。i163。（部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)。定理4：(1)設(shè)向量組A:a1,a2,L,am線性無關(guān)，而向量組B:a1,a2,L,am,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示法是唯一的。推論2：m(mn)個(gè)n維向量組成的向量組一定線性相關(guān)。推論1：當(dāng)向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)時(shí)，向量組A線性相關(guān)的充要條件是A=0；向量組A線性無關(guān)的充要條件是A185。2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余m1個(gè)向量線性表示。④ 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。a=0② 兩個(gè)向量a,b的向量組線性相關(guān)219。定義：設(shè)有n維向量組A:a1,a2,L,am，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,L,km使k1a1+k2a2+L+knan=0則稱向量組A線性相關(guān)；否則稱它線性無關(guān)。若它有非零解，即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,L,kn，使得k1a1+k2a2+L+knan=0。三、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)齊次線性方程組Am180。顯然，向量b能由向量組A線性表示，也就線性方程組：x1a1+x2a2+L+xnan=b有解。例：任何一個(gè)n維向量a=(a1,a2,L,an)都可以由n維單位向量組：Te1=(1,0,0,L,0)T，e2=(0,1,0,L,0)T，L，en=(0,0,L,0,1)T線性表示。nx=b可以寫成：x1a1+x2a2+L+xnan=b定義：設(shè)向量組A:a1,a2,L,am，對于數(shù)k1,k2,L,km，我們稱k1a1+k2a2+L+kmam為向量組A的一個(gè)線性組合，k1,k2,L,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。b247。247。M247。向量組；或A=231。231。231。230。232。231。231。n，則A=(a1,a2,L,an)，其中aj=231。a2j247。247。a1j246。①n維向量的相等；②零向量；③負(fù)向量；④加法；⑤數(shù)乘二、向量組的線性組合定義：由若干個(gè)同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個(gè)向量組。n248。a247。247。為n維列向量；其轉(zhuǎn)置aT=(a1,a2,L,an)稱為n維行向量。a=231。231。231。1矩陣230。 向量組的線性相關(guān)性一、n維向量及其線性運(yùn)算：由n個(gè)數(shù)a1,a2,L,an組成的有序數(shù)組稱為n維向量。248。05247。247。238。R）238。2=k，得其通解為：237。xx236。即236。248。232。248。232。248。232。0010247。1101246。174。0010247。231。247。1131247。當(dāng)l=1時(shí)，B=231。1121246。1121246。R(B)，所以方程組無解。248。232。248。232。247。231。231。247。231。230。230。00因R(A)=2，R(B)=3，R(A)185。231。0031247。231。0031247。231。231。247。231。174。0131247。231。0131246。0021246。230。1,l185。lx1+lx2+(l+3)x3=2l1ll2ll2解：A=l2l13=0l11=l(l1)(l+1)lll+300l+1由克拉默法則知，當(dāng)l185。lx1+(2l1)x2+3x3=1239。lx1+lx2+2x3=1239。例問l取何值時(shí)，下列線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求其通解。x3=x4239。232。232。x247。1247。247。3247。R)x8/93239。247。247。237。247。2247。239。231。231。230。x1=8x4230。236。232。232。231。013231。174。231。0247。231。109231。1008246。0246。232。232。232。231。231。231。231。0130247。174。解：231。231。231。12231。1230246。1090246。130246。2x1+5x2+3x3=0239。x1+2x2+3x3=0239。A=0定理3：矩陣方程AX=B有解219。nx=0有非零解219。R(A)=n ② 有非零解219。R(A)R(A,b)齊次線性方程組定理2：對于齊次線性方程組Am180。R(A)=R(A,b)=n② 有無窮多解219。 線性方程組有解的條件一、線性方程組解的判定非齊次線性方程組定理1：對于非齊次線性方程組Am180。248。00063a0247。247。247。因?yàn)镽(A)=3，所以63a=0，即a=2 174。0111a2231。112231。a3246。232。232。231。231。231。0111a20111a2231。247。 174。解：A174。231。231。231。112231。112a3246。a3246。3554247。的秩為3，求a的值0115247。247。2232。1231。231。故R(A)=3230。232。232。232。247。231。231。231。00454247。174。解：231。231。231。231。230。230。230。232。的秩231。例求A=231。231。********230。*(3)若R(A)n1，則A的任意一個(gè)n1階子式都為零。所以R(A)179。1。n，R(A)163。故A*可逆，從而R(A)=n(2)若R(A)=n1，則AA=AE=0。0；由AA=AE知A=An1185。0,R(A)n1238。R(A*)=237。R(A)=n236。 247。ErO246。s=O，則R(A)+R(B)163。min{R(A),R(B)}⑨ 若Am180。R(A)+1⑦ R(A+B)163。R(A)+R(B)；特別地，當(dāng)B為列向量b時(shí)，有R(A)163。④ 若A~B則R(A)=R(B)（矩陣的初等變換不改變矩陣的秩）⑤ 若P,Q可逆，則R(PAQ)=R(A)⑥ max{A,B}163。231。A的行階梯形含r個(gè)非零行219。R(A)163。若R(A)=r，則A中至少有一個(gè)r階子式不為0，且所有r+1階子式都為0。n矩陣A的k階子式共有Cm個(gè)。248。0000247。=1,=0等都是A的一個(gè)2階子式。1111例：A=231。231。230。k163。 矩陣的秩一、k階子式的概念2m,n})，其交叉處的k個(gè)元素定義：在m180。174。190。（四、習(xí)題P91 T1T2(1)(2)T31AE)190。190。190。174。190。(E|A1)或（解矩陣方程AX=B或XA=B（A可逆）初等變換法：(A|B)190。190。初等行變換190。存在可逆矩陣P,Q，使PAQ=B求逆方法的推導(dǎo)：111由定理4的A=P1P2LPk，得PkLP2P1A=E（1）1111（1）式兩端分別右乘A，得PkLP2P1E=A（2）1上述兩式表明，用一樣的初等行變換將A變成E的同時(shí)，會將E變成A。AE由定理4可知，方陣A可逆219。存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使PAQ=B，記為AB。n定理4：設(shè)A為可逆矩陣，則有限個(gè)初等矩陣P1,P2,L,Pk，使得A=P1P2LPk 推論：m180。m180。n 247。247。230。231。三、初等變換求逆矩陣定理2：對任意一個(gè)m180。12即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)A=B初等變換與初等矩陣的關(guān)系定理1：設(shè)A是一個(gè)m180。232。232。232。A=B 01232。10247。231。21247。231。01/2247。247。1247。13246。01246。10246。0246。則231。232。232。232。232。232。231。231。231。231。231。231。231。231。247。247。247。230。230。230。230。230。解：A=231。232。247。231。24246。1二、初等矩陣定義：由n階單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。248。=231。O231。2A1246。⑤A=A；⑥A12231。1230。OA2248。k247。1247。O230。232。231。247。k230。231。230。231。230。 O247。1246。 1247。O246。 A2B2247。O246。其中Ai與Bi(i=1,2)是同階的子方塊，則 247。O246。OA2248。n247。231。230。230。231。 分塊矩陣和初等矩陣一、分塊矩陣設(shè)An180。248。3247。232。=231。247。232。231。247。232。=231。247。232。231。247。1232。246。230。230。1230。231。248。411247。246。X=231。247。719232。246。25231。ca248。247。247。db246。a248。當(dāng)A=adbc185。db246。c232。解：A=adbc，A=231。232。247。231。ab246。0可知，AB也可逆。0，則lA可逆，且(lA)1111=A；1=lA1；1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB=AC，則B=C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； =B1A1（穿脫原理）T1=(A1)T；⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)1=(A1)*；⑦若A可逆，則(A*)T=(AT)*；1⑧若A可逆，則A=A1*⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*=B*A*（穿脫原理）證明： ①因?yàn)锳A1=E，由推論可知，(A1)1=A②因?yàn)閘A1lA1=AA1=E，由推論可知，(lA)=11lA11③(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E，由推論有，(AB)11④因?yàn)锳可逆，則AAB=AAC，即EB=EC，故B=C=B1A1⑤AT(A1)T=(A1A)T=ET=E，由推論有，(A)⑥因?yàn)锳可逆，故A1T1=(A1)T=1*AA1A，且A*=A*=E，從而(A*)1=A； AAAA1又A(A)=(A)A11*1*=A1E，即(A1)*=AA1E=1A A所以(A)*1=(A1)*。證明：AB=AB=E=1，故A185。同時(shí)，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。0時(shí)，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣。0，故有**A1*1*A=AA=E AA=1*A。0167。A=E。A185。 逆矩陣一、逆矩陣定義：對于n階方陣A，如果有一個(gè)n階方陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B=A。0時(shí)，A=A*nnn1。同理可得A*A=AE。00LA247。A1nA2nLAnn248。an2Lann248。247。247。247。247。247。247。=231。231。231。231。231。247。230。230。0,i185。A,i=jai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=237。a232。M231。231。0時(shí)，A=A證明：（1）因?yàn)?30。248。247。A22LAn2247。A21LAn1246。A232。M231。231。二、方陣行列式性質(zhì)：①AB=AB=BA（A,B都是n階方陣）n②A=A n③kA=knA三、伴隨矩陣定義：n階行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣230。性質(zhì)：(1)(A)=A；(2)(A+B)=A+B；(3)(lA)=lA；(4)穿脫原理：(AB)=BA對稱矩陣和反對稱矩陣TT設(shè)A=(aij)n180。n，則AT=(aij)n180。248。MM247。a22L0247。0L0246。231。0A=231。a11231。232。0Lann247。231。247。231。231。230。248。247。0247。三角矩陣0246。231。0lLlE=lE=231。l0L231。mm性質(zhì)：[diag(l1,l2,L,ln)]m=diag(l1,lm2,L,ln)，m為正整數(shù)。0Lln247。=diag(l1,l2,L,ln)MM247。247。n180。0L1247。性質(zhì)：EA=AE=A 247。247。0232。M231。231。230。231。0En=231。1231。f(A)=a0Am+a1Am1+L+am1A+amE仍為一個(gè)n階方陣，四、習(xí)題P61 T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6167。三、方陣的冪及方陣多項(xiàng)式定義：設(shè)A是n階方陣，則A1=A,A2=AA,L,Ak+1=AkAklk+lklkl方陣的冪滿足的運(yùn)算律：(1)AA=A；(2)(A)=A方陣多項(xiàng)式設(shè)f(x)=a0xm+a1xm1+L+am1x+am(a0185。232。232。232。232。01247。,Y=231。00247。247。；231。11247。（3）A=X=231。解：（1）A=231。230。230。230。230。矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律：(1)結(jié)合律：(AB)C=A(BC)(2)l(AB)=(lA)B=A(lB)(3)分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA例2：舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的（1）若A=0，則A=0；2（2）若A=A，則A=0或A=E； 2（3）若AX=AY，且A185。BA。00248。12248。36248。247。247。AB 247