【正文】 矩陣，簡(jiǎn)記為A=(aij)m180。a232。231。 矩陣的概念及其運(yùn)算一、矩陣的概念定義：稱由m180。注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：①方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零。n），那么(1)有唯一解，且解為xj=DjD(j=1,2,L,n)，其中Dj(j=1,2,L,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的n階行列式。238。ax+ax+L+ax=b239。j)或a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj(i185。ij163。四、習(xí)題P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)167。特別地，若某行（列）為0，則D=0；若某兩行（列）成比例，則D=0。例：（常用結(jié)論）a11（1）a11a22Oann0=a11a22Lann=M0n(n1)2a12La1na110L00 Ma22La2na21=MOMM0Lannan1a22LMOan2Lannl1（2）l2N=(1)l1l2Llnlnn階行列式的等價(jià)定義定理：D=t1+t2(1)ai1j1ai2j2Lainjn；其中t1為行標(biāo)排列i1i2Lin的逆序數(shù)，t2為列229。a11 D=A=a12La1np1p2Lpna21Man1a22La2n=MMan2Lann229。則n階行列式定義如下： M247。a232。231。定理：對(duì)換改變排列的奇偶性；在全部n級(jí)排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有二、n階行列式的定義n!個(gè)。a11三對(duì)角線法則（記憶）：D=a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、習(xí)題P25 T1(2)(3)(5)T2T3167。 a23247。a3232。ax+ax+ax=b定義：對(duì)于三元線性方程組237。DD236。(a11a22a12a21)x2=b2a11b1a21a12=a11a22a12a21稱為二階行列式，記D=A=detAa12a11b1，D2= a22a21b2定義：D=a11a21a22a11a12b1236。a21a22248。 231。a11a12246。其中1的個(gè)數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。O246。0L00L0247。F=231。230。247。231。M231。n的矩陣A，總可以經(jīng)過(guò)初等變換（包括行變換和列變換）化為如230。Lamn247。為矩陣，簡(jiǎn)記為A=(aij)m180。a232。231。 矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換定義：稱由m180。239。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0239。x3=1+c2239。x1=22c1c2239。其中x2,x4為自由未知量。即237。232。 231。00111247。231。230。232。232。231。231。174。231。1231。12121246。2x1+4x2+x3+x4=5239。三、小結(jié)例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對(duì)其增廣矩陣B進(jìn)行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡(jiǎn)形矩陣，然后從中讀出所需的解。232。231。0115247。247。230。248。0016247。174。247。1009246。248。248。0016247。0101247。231。174。231。21019246。1246。232。231。231。0412247。B=231。231。230。故我們隱去x1,x2,x3,=，得到一個(gè)數(shù)字陣（即矩陣B），對(duì)B進(jìn)行初等行變換：230。3238。x=6239。x2x3=5，237。239。2x1x2+3x3=1236。3x=18238。x2x3=5，237。239。1236。2x1x2+3x3=1239。247。247。MMM231。m1230。a21TA=的一個(gè)解為：x=(c1,c2,L,)（或稱為解向量）；此時(shí)稱231。248。La2n247。238。ax+ax+L+ax=b239。第一篇：線性代數(shù)教案第一章線性方程組的消元法與矩陣的初等變換教學(xué)目標(biāo)與要求 教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學(xué)難點(diǎn)矩陣的初等變換167。2112222nn(1)237。am1x1+am2x2+L+amnxn=bm稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1=b2=L=bm=0時(shí)則稱為齊次線性方程組。為系M247。230。M231。a11a12La1n231。231。b2247。bm247。例1：解線性方程組237。2x1x2+3x3=1236。239。x2x3=5；239。23238。2x1x2=19236。239。x2=1，237。x=6239。3238。2131246。2131246。247。4254247。174。2026247。0412247。248。230。230。247。231。0115247。 231。231。232。230。231。174。231。231。232。213230。231。稱為行階梯形矩陣，231。00318247。248。四、一般解和通解236。x2x2x+x=4234238。230。247。247。231。00333247。00333247。248。248。12012246。247。174。00000247。248。236。238。x=c239。238。ax+ax+L+ax=0239。238。n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,L,m。a21A=231。m1a12a22Mam2La1n246。n。248。1231。下的標(biāo)準(zhǔn)形：F=231。M231。1L00L0247。Er0L10L0247。231。MMMM247。247。四、習(xí)題P18T1(4)(5)T2(1)T3 P19 總復(fù)習(xí)題：T3T4第二章行列式教學(xué)目標(biāo)與要求、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì) ，掌握范德蒙德行列式的結(jié)論 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。247。247。用消元法解得 237。Dx1=D1那么（2）可以表示為237。a11x1+a12x2+a13x3=b1230。211a222222332，記A=231。31a32238。a33247。 n階行列式的定義和性質(zhì)一、排列與逆序數(shù)：由1,2,L,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。：n階矩陣A=(aij)n180。a=231。m1a12a22Mam2La1n246。247。(1)t(p1p2Lpn)a1p1a2p2Lanpn這里，229。標(biāo)排列j1j2Ljn的逆序數(shù)。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項(xiàng)之和，則D等于兩個(gè)行列式的和。 行列式的展開(kāi)公式一、余子式與代數(shù)余子式定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來(lái)的順序所構(gòu)成的n1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij=(1)i+jMij，稱Aij為aij的代數(shù)余子式。n213。j)11例證：如322243331444=1A11+2A12+3A13+4A14=a21A11+a22A12+a23A13+a24A14=021四、習(xí)題P46T2(3)(4)(5)167。2112222nn2237。an1x1+an2x2+L+annxn=bn稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1=b2=L=bn=0時(shí)稱為齊次線性方程組。推論：(1)如果線性方程組(1)無(wú)解或至少有兩個(gè)不同的解，那么它的系數(shù)行列式D=0?？死▌t的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,L,m。a21A=231。m1a12a22Mam2La1n246。n=Am180。Lamn247。n219。231。行矩陣（行向量）：A=(a1,a2,L,an)；列矩陣（列向量）：A=231。231。二、矩陣的運(yùn)算矩陣的加法定義1：設(shè)A=(aij)m180。矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B,C都是m180。234。la22Lla2nLlamns，B=(bij)s180。aikbkj(i=1,2,L,m。n（A的列數(shù)等于B的行數(shù)）。230。231。247。232。4246。24246。247。231。16248。36248。4246。00246。247。AB 247。247。12248。BA。230。230。解：（1）A=231。11247。247。,Y=231。232。232。三、方陣的冪及方陣多項(xiàng)式定義：設(shè)A是n階方陣，則A1=A,A2=AA,L,Ak+1=AkAklk+lklkl方陣的冪滿足的運(yùn)算律：(1)AA=A；(2)(A)=A方陣多項(xiàng)式設(shè)f(x)=a0xm+a1xm1+L+am1x+am(a0185。1231。231。231。0232。性質(zhì)：EA=AE=A 247。n180。=diag(l1,l2,L,ln)MM247。mm性質(zhì)：[diag(l1,l2,L,ln)]m=diag(l1,lm2,L,ln)，m為正整數(shù)。0lLlE=lE=231。三角矩陣0246。247。230。231。231。232。0A=231。0L0246。MM247。n，則AT=(aij)n180。二、方陣行列式性質(zhì)：①AB=AB=BA（A,B都是n階方陣）n②A=A n③kA=knA三、伴隨矩陣定義：n階行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣230。M231。A21LAn1246。247。0時(shí)，A=A證明：（1）因?yàn)?30。M231。A,i=jai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=237。230。247。231。231。247。247。247。an2Lann248。00LA247。0時(shí)，A=A*nnn1。A185。0167。0時(shí)，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣。證明：AB=AB=E=1，故A185。0可知，AB也可逆。231。232。c232。當(dāng)A=adbc185。db246。247。25231。719232。X=231。411247。231。230。246。247。232。=231。247。232。=231。3247。 分塊矩陣和初等矩陣一、分塊矩陣設(shè)An180。230。231。OA2248。其中Ai與Bi(i=1,2)是同階的子方塊，則 247。 A2B2247。 1247。 O247。231。231。247。232。1247。OA2248。⑤A=A；⑥A12231。O231。248。24246。247。解：A=231。230。230。247。247。231。231。231。231。232。232。則231。10246。13246。247。231。231。A=B 01232。232。12即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)A=B初等變換與初等矩陣的關(guān)系定理1：設(shè)A是一個(gè)m180。231。247。m180。存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使PAQ=B，記為AB。存在可逆矩陣P,Q，使PAQ=B求逆方法的推導(dǎo)：111由定理4的A=P1P2LPk，得PkLP2P1A=E（1）1111（1）式兩端分別右乘A，得PkLP2P1E=A（2）1上述兩式表明，用一樣的初等行變換將A變成E的同時(shí)，會(huì)將E變成A。190。190。190。（四、習(xí)題P91 T1T2(1)(2)T31AE)190。174。k163。231。=1,=0等都是A的一個(gè)2階子式。248。若R(A)=r，則A中至少有一個(gè)r階子式不為0，且所有r+1階子式都為0。A的行階梯形含r個(gè)非零行219。④ 若A~B則R(A)=R(B)（矩陣的初等變換不改變矩陣的秩）⑤ 若P,Q可逆，則R(PAQ)=R(A)⑥ max{A,B}163。R(A)+1⑦ R(A+B)163。s=O，則R(A)+R(B)163。 247。R(A*)=237。0；由AA=AE知A=An1185。n，R(A)163。所以R(A)179。********230。例求A=231。232。230。231。231。174。231。231。232。232。231。2232。的秩為3，求a的值0115247。a3246。112231。231。解：A174。247。231。231。232。112231。因?yàn)镽(A)=3，所以63a=0，即a=2 174。247。248。R(A)=R(A,b)=n② 有無(wú)窮多解219。R(A)=n ② 有非零解219。A=0定理3：矩陣方程AX=B有解219。2x1+5x2+3x3=0239。1090246。12231。231。174。231。231。232。232。1008246。231。231。013231。232。236。230。231。2247。237。247。3247。1247。232。x3=x4239。lx1+lx2+2x3=1239。lx1+lx2+(l+3)x3=2l1ll2ll2解：A=l2l13=0l11=l(l1)(l+1)lll+300l+1由克拉默法則知，當(dāng)l185。230。0131246。0131247。231。231。0031247。0031247。00因R(A)=2，R(B)=3，R(A)185。230。247。231。232。232。R(B)，所以方程組無(wú)解。1121246。1131247。231。174。0010247。248。248。248。xx236。R）238。247。248。1矩陣230。231。為n維列向量；其轉(zhuǎn)置aT=(a1,a2,L,an)稱為n維行向量。a247。①n維向量的相等；②零向量；③負(fù)向量；④加法；⑤數(shù)乘二、向量組的線性組合定義：由若干個(gè)同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個(gè)向量組。247。n，則A=(a1,a2,L,an)，其中aj=231。231。230。231。M247。b247。例：任何一個(gè)n維向量a=(a1,a2,L,an)都可以由n維單位向量組：Te1=(1,0,0,L,0)T，e2=(0,1,0,L,0)T，L，en=(0,0,L,0,1)T線性表示。三、向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)設(shè)齊次線性方程組Am180。定義：設(shè)有n維向量組A:a1,a2,L,am，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,L,km使k1a1+k2a2+L+knan=0則稱向量組A線性相關(guān)；否則稱它線性無(wú)關(guān)。④ 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。推論1：當(dāng)向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)時(shí)，向量組A線性相關(guān)的充要條件是A=0；向量組A線性無(wú)關(guān)的充要條件是A185。定理4：(1)設(shè)向量組A:a1,a2,L,am線性無(wú)關(guān)，而向量組B:a1,a2,L,am,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示法是唯一的。i163。四、習(xí)題P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)167。命題2：若矩陣A經(jīng)過(guò)初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價(jià)。顯然，最大無(wú)關(guān)組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)。推論1：兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量。定理239。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對(duì)于齊次線性方程組Am180。定理1：若n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩R(A)=rn，則Ax=0的基礎(chǔ)解系恰含有nr個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。*定理2：設(shè)h是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，x1,x2,L,xnr是對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=b的通解為h=h*+k1x1+k2x2+L+knrxnr其中k1,k2,L,knr為任意常數(shù)。0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立定義2：令x=[x,x]=22x12+x2+L+xn，稱為n維向量x的長(zhǎng)度（或范數(shù)）。0，y185。定義4：當(dāng)[x,y]=0時(shí)，稱向量x與y正交。二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是將一組線性無(wú)關(guān)的向量a1,a2,L,ar，化為一組與之等價(jià)的正交向量組b1,b2,L,br的方法。231。01/21/2246。247。247。1/31/31/3247。TT1定理2：A為正交矩陣219。aiTaj=237。1；(2)