【正文】 。即可按第i行展開(kāi)D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin(i=1,2,L,n)或可按第j列展開(kāi)D=a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnj(j=1,2,L,n)14如：322143321443=1A11+2A12+3A13+4A14=1A11+4A21+3A31+2A41 21講解P42例2和例3三、范德蒙德行列式1x1Dn=x12Mx1n1 1x22x2Mn1x21x32x3M1LL1xn2=xnM1163。123例：②如211111211234=234；③如339=32113***123123④如456=123+333；112112112111111111111⑤如2334=012=012=012=0 45345012000注意：計(jì)算行列式的常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開(kāi)公式(下一節(jié))。n的行列式為D=A，則D有如下性質(zhì)：T①A=A；②交換兩行（列），則D變號(hào)；③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。即n階行列式是指n!項(xiàng)取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。248。La2n247。231。a11231。)=4+0+2+1+0=7（奇排列）例：t(25431；)=14+1+2+1+0=8（偶排列）t(5243。a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 為三階行列式。247。ax+ax+ax=b231。239。2從而x1= 二、三階行列式 D1D,x2=2。(a11a22a12a21)x1=b1a22b2a12（2）238。a21x1+a22x2=b2232。（1），其系數(shù)矩陣為A=231。a11x1+a12x2=b1230。O248。0L00L0248。232。n174。247。00L00L0246。0231。0231。三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定理：任意一個(gè)m180。247。La2n247。231。a11231。五、習(xí)題P11 T1(2)T2167。中，若mn（即方程LLLLLLLLLLLL239。236。239。x3=1+x4236。x1=22x2x4，亦即一般解為237。248。00000247。00111247。231。247。12121246。248。00000247。12214247。174。24115247。247。230。230。例2：解方程組237。248。0016247。稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣。其中231。231。1246。232。 231。0101247。231。230。232。232。231。231。174。247。247。230。248。248。0115247。0115247。231。247。247。2131246。3從上面可以看出，整個(gè)消元過(guò)程和回代過(guò)程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。x=6238。x2=1239。237。x1=9239。3236。4xx=2239。4x2x3=2，237。2x1x2+3x3=1239。2x+2x=63238。236。M247。m1am2Lamn二、線性方程組的消元法b1246。a21a22La2n數(shù)矩陣，稱(chēng)B=231。a232。231。Lamn247。247。239。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào)，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱(chēng)它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來(lái)表示，即有同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)得到另外三個(gè)三階行列式，分別記為于是有就可以按照三階行列式的定義，它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達(dá)式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項(xiàng)b1，可得到另一個(gè)行列式，用字母D2表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：a11b2b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 二階與三階行列式一．二階行列式引入新課：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。本章主要閱讀文獻(xiàn)資料：，《線性代數(shù)》(第4版)，中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008年2月。第一篇：線性代數(shù)教案第一章線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學(xué)時(shí)）教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí)教學(xué)目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行（列）展開(kāi)定理，行列式的計(jì)算，克萊姆法則解方程組?！毒€性代數(shù)》，北京郵電大學(xué)出版社，2005年10月。在線性代數(shù)中，將含兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程式的線性方程組的一般形式寫(xiě)為（1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)時(shí)，有（2）這就是二元方程組的解的公式。于是二元方程組的解的公式又可寫(xiě)為其中D≠0例1 計(jì)算51=52（1）3=13 32例2 設(shè)D=l2l31問(wèn)：(1)當(dāng)λ為何值時(shí)D=0(2)當(dāng)λ為何值時(shí)D≠0 解：D=l2l31=l23l(1)當(dāng)λ=0或3時(shí)，D=0(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時(shí)，D≠0含有三個(gè)未知量三個(gè)方程式的線性方程組的一般形式為（1）還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當(dāng)時(shí)，有（2）這就是三元方程組的解的公式。123例3 405106解：原式=58 例4 實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件時(shí)ab0ba0=0 101ab0解：ba0=a2+b2a，b為實(shí)數(shù)，若要a2+b2=0，則a，b需同時(shí)等于零。ax+ax+L+ax=b239。238。La2n247。248。a21TA=的一個(gè)解為：x=(c1,c2,L,)（或稱(chēng)為解向量）；此時(shí)稱(chēng)231。m1230。MMM231。247。247。2x1x2+3x3=1239。1236。239。x2x3=5，237。3x=18238。2x1x2+3x3=1236。239。x2x3=5，237。x=6239。3238。故我們隱去x1,x2,x3,=，得到一個(gè)數(shù)字陣（即矩陣B），對(duì)B進(jìn)行初等行變換：230。230。231。B=231。0412247。231。231。232。1246。21019246。231。174。231。0101247。0016247。248。248。1009246。247。174。0016247。248。230。247。0115247。231。232。三、小結(jié)例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對(duì)其增廣矩陣B進(jìn)行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡(jiǎn)形矩陣，然后從中讀出所需的解。2x1+4x2+x3+x4=5239。12121246。1231。231。174。231。231。232。232。230。231。00111247。 231。232。即237。其中x2,x4為自由未知量。x1=22c1c2239。x3=1+c2239。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0239。239。 矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換定義：稱(chēng)由m180。231。a232。為矩陣，簡(jiǎn)記為A=(aij)m180。Lamn247。n的矩陣A，總可以經(jīng)過(guò)初等變換（包括行變換和列變換）化為如230。M231。231。247。230。F=231。0L00L0247。O246。其中1的個(gè)數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。a11a12246。 231。a21a22248。(a11a22a12a21)x2=b2a11b1a21a12=a11a22a12a21稱(chēng)為二階行列式，記D=A=detAa12a11b1，D2= a22a21b2定義：D=a11a21a22a11a12b1236。DD236。ax+ax+ax=b定義：對(duì)于三元線性方程組237。a3232。 a23247。a11三對(duì)角線法則（記憶）：D=a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、習(xí)題P25 T1(2)(3)(5)T2T3167。定理：對(duì)換改變排列的奇偶性；在全部n級(jí)排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有二、n階行列式的定義n!個(gè)。231。a232。則n階行列式定義如下： M247。a11 D=A=a12La1np1p2Lpna21Man1a22La2n=MMan2Lann229。例：（常用結(jié)論）a11（1）a11a22Oann0=a11a22Lann=M0n(n1)2a12La1na110L00 Ma22La2na21=MOMM0Lannan1a22LMOan2Lannl1（2）l2N=(1)l1l2Llnlnn階行列式的等價(jià)定義定理：D=t1+t2(1)ai1j1ai2j2Lainjn；其中t1為行標(biāo)排列i1i2Lin的逆序數(shù)，t2為列229。特別地，若某行（列）為0，則D=0；若某兩行（列）成比例，則D=0。四、習(xí)題P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)167。ij163。j)或a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj(i185。ax+ax+L+ax=b239。238。n），那么(1)有唯一解，且解為xj=DjD(j=1,2,L,n)，其中Dj(j=1,2,L,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的n階行列式。注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：①方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零。 矩陣的概念及其運(yùn)算一、矩陣的概念定義：稱(chēng)由m180。231。a232。為矩陣，簡(jiǎn)記為A=(aij)m180。247。n=Bm180。b1246。b2247。247。n248。n注意：兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算。la21定義2：數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA或Al，規(guī)定為lA=234。lam1la12Lla1n249。l=0或A=0矩陣的乘法定義3：設(shè)A=(aij)m180。n，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+aisbsj=229。sBs180。4246。2247。36247。248。231。230。231。247。247。232。231。230。231。185。231。232。例1說(shuō)明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB185。0，則X=Y。10246。10246。231。00247。247。247。248。248。 特殊矩陣與方陣行列式一、特殊矩陣單位矩陣230。M231。l1231。231。1L0247。248。l2L0247。248。231。00L232。性質(zhì)：lEA=lAE=lA M247。a12La1n246。a22La2n247。MMM247。248。231。0232。 247。如果A=(aij)m180。n，如果A=A，則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣；如果A=A，則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)TTTTTTTTTT矩陣。A12231。1n稱(chēng)為A的伴隨矩陣。MM247。n1*例1：試證：（1）AA*=A*A=AE；（2）當(dāng)A185。a21*故AA=231。n1236。ja12La1n246。A0L0246。247。A12A22LAn2247。=AE 247。MMMMMMMM247。231。231。232。*（2）對(duì)A*A=AE兩邊取行列式，得AA=AE*即 AA=AE=A，所以當(dāng)A185?？赡娴呐卸ǘɡ矶ɡ恚悍疥嘇可逆219。證明：，即存在A，使AA1111故AA=AA=E=1，所以A185。A按照逆矩陣的定義，即有A1注意：當(dāng)A185。1推論：若AB=E（或BA=E），則B=A。T*TT11T⑦因?yàn)?A*)T=(AA1)T=A(A1)T，(A)=A(A)=A(A)所以(A)=(A)111⑧因?yàn)锳A=E=1，即AA=1，所以A=*TT*11=A A⑨由AB=AB185。1例問(wèn)A=231。滿足什么條件時(shí)可逆，并求A。231。247。且A1=1230。 231。例設(shè)A是三階方陣，且A=解：(3A)118A*=11*，求(3A)18A 271112A18AA1=A1A1 333=(1)A1=(1)3A11 33=27A=1例解矩陣方程231。230。248。232。 解：X=230。719246。719231。13247。231。248。12247。231。248。1三、習(xí)題P75 T2T3(3)T6T7T92246。 167。O232。B1247。231。247。247。247。A2247。A1+B1①A+B=231。A1k③A=231。A1B1246。OA2+B2247。A11O246。231。O231。230。AO247。三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等矩陣(1)交換第i行和第j行；對(duì)應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍；對(duì)應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；對(duì)應(yīng)En(i,j(k))230。13247。248。24246。13246。10246。247。174。174。247。247。13248。02248。01248。230。230。231。247。247。247。248。248。n矩陣A，總存在有限個(gè)m階初等矩陣P1,P2,L,Ps和n階初等矩陣Ps+1,Ps+2,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=231。ErO246。O248。n矩陣A與B等價(jià)219。A=P,2,L,k為初等矩陣)1P2LPk(Pi,i=1由推論可知，AB219。190。初等行變換190。(E|A1B)或()190。174。190。n矩陣A中，任取k行k列(1163。1111246。1234247。232。Cn二、矩陣的秩定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱(chēng)為矩陣A的秩，記為R(A)。min{② R(A)=R(A)③ R(A)=r219。O232。R(A,b)163。nBn180。247。n,239。證明：**(1)當(dāng)R(A)=n時(shí)，則A可逆，即A185。故R(A)+R(A)163。又由R(A)=n1知矩陣A中至少有一個(gè)n1階子式不為零，也就是說(shuō)A中至少有一個(gè)元素不為零。故A=0，即R(A)=0。247。21561247。21113246。21113246。247。42232247。174。21561247。452247。248。1231。231。2314247。248。230。247。00112a2247。231。247。01152a2247。248。230。247。00112a2231。232。nx=b（1），則① 有唯一解219。nx=0（2），則 ① 僅有零解219。R(A)n219。例求下列線性方程組的通解237。230。230。247。2530247。174。1008247。0098247。248。230。247。174。231。0018/9247。248。x1246。247。x8/38231。239。=k231。231。231。8239。4248。236。238。1時(shí)，方程組有唯一解。230。01231。231。174。232。232。232。1121246。1331247。1246。231。231。因R(A)=2，R(B)=3，R(A)185。230。231。174。247。231。1141247。0020247。0000247。237。x2=k（k206。x3=0三、習(xí)題P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T731246。2247。稱(chēng)n180。247。247。231。個(gè)分量(i=1,2,L,n)。231。(j=1,2,L,n)為矩陣A的列設(shè)A=(aij)m180。247。mj248。247。其中bi=(ai1,ai2,L,ain)(i=1,2,L,m)為矩陣A的行向量組。231。給定向量組A:a1,a2,L,am和向量b，若存在一組數(shù)l1,l2,L,lm，使得b=l1a1+l2a2+L+lmam 則稱(chēng)向量b是向量組A的線性組合，也稱(chēng)向量b可以由向量組A線性表示。：向量b能由向量組A:a