【正文】 x1+c2x2+L+ckxk(c1,c2,L,ck為任意常數(shù))。nx=0(1)性質(zhì)1：若x1,x2都是Ax=0的解，則x1+x2也是Ax=0的解。min{R(A),R(B)}性質(zhì)3：若P,Q可逆，則R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A)五、習(xí)題P124 T1T2T3T9167。四、矩陣的秩的性質(zhì)性質(zhì)1：R(A+B)163。n，則 R(A)=A的行秩=A的列秩。：若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。定義3：向量組的最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為該向量組的秩。推論2：兩個等價的向量組的最大無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量。s；(2)若rs，則向量組B線性相關(guān)。定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關(guān)系； 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。r)的一個部分組，若(1)向量組A0:a1,a2,L,ar線性無關(guān)；(2)A中的任意向量均可由向量組A0:a1,a2,L,ar線性表示； 則稱A0:a1,a2,L,ar為A的一個最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組）。定理1：設(shè)向量組A:a1,a2,L,am和向量組B:b1,b2,L,bs均為列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件為R(A)=R(A,B)推論：向量組A:a1,a2,L,am和向量組B:b1,b2,L,bs等價的充要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)其中A和B是向量組A和向量組B所構(gòu)成的矩陣。命題1：若A,B為有限個列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件是矩陣方程B=AX有解。 向量組的秩一、向量組的等價定義1：設(shè)有向量組A:a1,a2,L,am；向量組B:b1,b2,L,bs，若向量組A中的每一個向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。n)得到的m個n維向量也線性無關(guān)。n)得到的m個n1維向量也線性相關(guān)；反之，若m個n1維向量a1,a2,L,am線性無關(guān)，同時增加其第i個分量(1163。）(3)若m個n維向量a1,a2,L,am線性相關(guān)，同時去掉其第i個分量(1163。(2)若向量組a1,a2,L,ar線性相關(guān)，則向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)必線性相關(guān)；反之，若向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)線性無關(guān)，則向量組a1,a2,L,ar必線性無關(guān)。推論3：任一個n維向量組中線性無關(guān)的向量最多有n個。0。定理3：設(shè)向量組A:a1,a2,L,am構(gòu)成矩陣A=(a1,a2,L,am)，則向量組A線性相關(guān)的充要條件是R(A)m；向量組A線性無關(guān)的充要條件是R(A)=m。定理2：向量組a1,a2,L,am(m179。a=lb(即兩向量共線：對應(yīng)分量成比例)③ 三個向量線性相關(guān)：幾何意義是三個向量共面。注意：（特殊情形）① 只有一個向量a的向量組線性相關(guān)219。因此，我們引入如下概念。nx=0，寫成向量形式：x1a1+x2a2+L+xnan=0。：向量b能由向量組A:a1,a2,L,am線性表示的充要條件是R(A)=R(A,b)，其中A=(a1,a2,L,am)。即a=a1e1+a2e2+L+anen。給定向量組A:a1,a2,L,am和向量b，若存在一組數(shù)l1,l2,L,lm，使得b=l1a1+l2a2+L+lmam 則稱向量b是向量組A的線性組合，也稱向量b可以由向量組A線性表示。一個線性方程組Am180。231。231。其中bi=(ai1,ai2,L,ain)(i=1,2,L,m)為矩陣A的行向量組。b2247。247。b1246。mj248。a247。247。M247。(j=1,2,L,n)為矩陣A的列設(shè)A=(aij)m180。231。231。230。個分量(i=1,2,L,n)。232。231。其中ai稱為a的第iM231。247。a2247。247。a1246。稱n180。167。2247。21247。x3=0三、習(xí)題P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T731246。3239。x2=k（k206。x1=1k1=12x=0，令x239。237。因R(A)=R(B)=23，所以方程組有無窮多解。0000247。231。0020247。231。1141247。247。231。231。247。231。174。231。231。230。230。230。因R(A)=2，R(B)=3，R(A)185。0004247。231。1123247。231。0210247。1246。174。1331247。112當(dāng)l=1時，B=231。1121246。R(B)，所以方程組無解。232。248。232。248。232。00231。174。0021247。231。247。01231。230。230。當(dāng)l=0時，B=231。1時，方程組有唯一解。0,l185。238。237。236。9238。4248。248。8239。231。231。231。231。(k206。=k231。x2=x4，令x4=1，得通解為：231。239。231。x8/38231。247。247。8246。x1246。239。248。248。0018/9247。0018/9247。231。0108/3247。174。247。247。230。230。248。248。248。0098247。0238247。1008247。0130247。174。231。2530247。247。247。247。230。230。230。x+8x=04238。例求下列線性方程組的通解237。R(A)=R(A,B)二、線性方程組的解法236。R(A)n219。R(A)n推論：當(dāng)m=n時，An180。nx=0（2），則 ① 僅有零解219。R(A)=R(A,b)n③ 無解219。nx=b（1），則① 有唯一解219。四、習(xí)題P96 T2T3(2)T7T8P97 總復(fù)習(xí)題：T1 T2T3T4T5第四章線性方程組理論教學(xué)目標(biāo)與要求，以及它們的判定方法，會求向量組的秩，會求齊次與非齊次線性方程組的通解 教學(xué)重點 教學(xué)難點167。232。231。00112a2231。231。247。247。230。248。248。00063a0247。01152a2247。247。247。247。231。231。00112a2247。00112a2247。247。247。230。230。248。247。2314247。12a3246。231。2例已知矩陣A=231。1231。00006248。248。248。452247。00231。21561247。00454247。174。231。42232247。247。247。247。21113246。21113246。21113246。248。21561247。42232247。247。21113246。故A=0，即R(A)=0。1，從而有R(A)=1。又由R(A)=n1知矩陣A中至少有一個n1階子式不為零，也就是說A中至少有一個元素不為零。nR(A)163。故R(A)+R(A)163。0。證明：**(1)當(dāng)R(A)=n時，則A可逆，即A185。1,R(A)=n1239。n,239。O248。247。n例設(shè)A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明 *T230。nBn180。R(A)+R(B)⑧ R(AB)163。R(A,b)163。R(A,B)163。O232。A的標(biāo)準(zhǔn)形F=231。min{② R(A)=R(A)③ R(A)=r219。三、矩陣秩的性質(zhì)m,n} ① 1163。Cn二、矩陣的秩定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記為R(A)。kk可知，m180。232。1200231。1234247。247。1111246。min{按原來的位置構(gòu)成的一個k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式。n矩陣A中，任取k行k列(1163。(1)EAAB初等列變換E)BA1167。190。初等列變換190。174。190。(E|A1B)或()190。190。初等行變換190。174。190。求逆矩陣的基本方法初等變換法：(A|E)190。A=P,2,L,k為初等矩陣)1P2LPk(Pi,i=1由推論可知，AB219。（等價關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性）因此，由定理3可知，方陣A可逆219。n矩陣A與B等價219。n定理3：對于n階可逆矩陣A，總存在有限個n階初等矩陣P1,L,Ps,Ps+1,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=En180。O248。=Fm180。ErO246。O232。n矩陣A，總存在有限個m階初等矩陣P1,P2,L,Ps和n階初等矩陣Ps+1,Ps+2,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=231。n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于對A左乘一個相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于對A右乘一個相應(yīng)的n階初等矩陣。248。248。248。248。247。231。247。231。247。231。231。230。230。230。230。231。01248。01248。02248。24248。13248。247。247。247。247。=B 247。174。174。174。174。247。247。10246。13246。13246。13246。24246。231。248?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形。13247。例將A=231。三種初等變換對應(yīng)三種初等矩陣(1)交換第i行和第j行；對應(yīng)En(i,j)(2)第i行乘k倍；對應(yīng)En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；對應(yīng)En(i,j(k))230。232。AO247。1247。230。A232。O231。232。231。；④A=231。A11O246。248。OA2+B2247。；②AB=231。A1B1246。O232。A1k③A=231。O232。A1+B1①A+B=231。248。A2247。A2248。247。248。247。B2248。247。232。231。B=n180。B1247。A1O246。O232。n=231。 167。247。1三、習(xí)題P75 T2T3(3)T6T7T92246。231。248。411247。231。248。12247。231。248。411247。231。248。13247。230。719231。35246。719246。25246。 解：X=230。247。232。231。248。13247。230。230。例設(shè)A是三階方陣，且A=解：(3A)118A*=11*，求(3A)18A 271112A18AA1=A1A1 333=(1)A1=(1)3A11 33=27A=1例解矩陣方程231。adbc232。 231。231。且A1=1230。0時，A可逆； 247。247。*230。231。248。滿足什么條件時可逆，并求A。cd247。1例問A=231。又(AB)(AB)*=ABE，所以(AB)*=AB(AB)1=ABB1A1=BB1AA1=B*A*230。T*TT11T⑦因為(A*)T=(AA1)T=A(A1)T，(A)=A(A)=A(A)所以(A)=(A)111⑧因為AA=E=1，即AA=1，所以A=*TT*11=A A⑨由AB=AB185。0，從而A存在，于是1B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1二、逆矩陣的運算律方陣的逆矩陣滿足下列運算律：①若n階方陣A可逆，則A也可逆，且(A)②若A可逆，數(shù)l185。1推論：若AB=E（或BA=E），則B=A?？梢姡赡婢仃嚲褪欠瞧娈惥仃?。A按照逆矩陣的定義，即有A1注意：當(dāng)A185。 AA=AA=AE；因為A185。證明：，即存在A，使AA1111故AA=AA=E=1，所以A185。0；當(dāng)A可逆時，A=11* A，其中A*為A的伴隨矩陣?？赡娴呐卸ǘɡ矶ɡ恚悍疥嘇可逆219。四、習(xí)題P69 T1T2T6T7T8(2)167。*（2）對A*A=AE兩邊取行列式，得AA=AE*即 AA=AE=A，所以當(dāng)A185。248。232。232。231。231。231。231。MMMMMMMM247。231。=AE 247。0AL0247。A12A22LAn2247。a22La2n247。247。247。A0L0246。A11A21LAn1246。ja12La1n246。(i,j=1,2,L,n)238。n1236。231。a21*故AA=231。a11231。n1*例1：試證：（1）AA*=A*A=AE；（2）當(dāng)A185。A2nLAnn247。MM247。247。1n稱為A的伴隨矩陣。231。A12231。A11231。n，如果A=A，則稱A為對稱矩陣；如果A=A，則稱A為反對稱TTTTTTTTTT矩陣。m。如果A=(aij)m180。an2Lann247。 247。247。0232。M231。231。an1性質(zhì)：A=a11a22Lann轉(zhuǎn)置矩陣 230。248。231。MMM247。a21或231。a22La2n247。a11247。a12La1n246。l247。性質(zhì)：lEA=lAE=lA M247。247。00L232。MM231。231。數(shù)量矩陣230。248。247。l2L0247。n0L對角矩陣0246。248。MM247。1L0247。0L0246。231。0L=231。l1231。0232。M231。231。 特殊矩陣與方陣行列式一、特殊矩陣單位矩陣230。0)為m次多項式，A為n階方陣，則 稱f(A)為方陣A的多項式。248。248。248。248。247。231。247。；231。00247。247。231。（2）A=231。10246。10246。10246。11246。0，則X=Y。若AB=BA，則稱方陣A與B可交換。例1說明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB185。232。232。232。231。231。185。247。231。230。230。230。231。232。232。232。247。247。247。247。231。230。230。230。231。248。248。的乘積AB與BA。36247。與B=247。2247。24246。4246。例1：求矩陣A=231。sBs180。j=1,2,L,n)k=1s記為Cm180。n，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+aisbsj=229。n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個m180。l=0或A=0矩陣的乘法定義3：設(shè)A=(aij)m180。；矩陣的數(shù)乘滿足下列運算律(設(shè)A,B都是m180。lam1la12Lla1n249。M234。la21定義2：數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA或Al，規(guī)定為lA=234。n矩陣)：(1)交換律：A+B=B+A；(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)(3)負矩陣A+(A)=0，規(guī)定減法運算：AB=A+(B)矩陣的數(shù)乘233。n注意：兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算。n，B=(bij)m180。n248。b247。247。247。b2247。247。b1246。aij=bij(i=1,2,L,m。n=Bm180。248。247。n。為矩陣，簡記為A=(aij)m180。247。a232。M231。231。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。 矩陣的概念及其運算一、矩陣的概念定義：稱由m180。它主要適用于理論推導(dǎo)。注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：①方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零。(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D185。n），那么(1)有唯一解，且解為xj=DjD(j=1,2,L,n)，其中Dj(j=1,2,L,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項替代后所得到的n階行列式。如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D=A185。238。(1)LLLLLLLLLLLL239。ax+ax+L+ax=b239。 克拉默法則一、克拉默法則定理1：含有n個未知數(shù)x1,x2,L,xn與n個方程的線性方程組236。j)或a1iA1j