【正文】 239。Ax=b, 其中A 為m*n 矩陣, 求通解U=rref([A,b])從最后一列找特解，前n列找導出組的基礎(chǔ)解系，然后按格式寫出Ax=b的通解。Ax=b，其中A為n階可逆陣法1： x=inv(A)*b 或 x=A^(1)*b法2： U=rref([A,b])% 返回值U為矩陣的行最簡形，最后一列即為解x。3, 2, 1] 或 A=[1 2 3 2 1]符號矩陣(顯示出來元素之間有逗號): 定義符號變量 sym syms用法：(1).sym(‘[a,b,c。BCABA1O249。239。236。235。233。239。3236。234。AO249。X3X2249。0222。, 求． 1M例3 設Am180。235。O234。A111A=234。234。233。As1234。A1233。O249。A1,A2,L,As)=234。 T235。A1Tr234。MMA=, 234。A11LA1r249。11234。E249。AB=234。11E249。12B=234。 E235。A21=233。235。1234。235。MMB1j249。235。234。M233。kA11LkA1r249。As1+Bs1LAsr+BsrMMA+B=234。n233。235。234。M233。 =[B1021003A110210011249。1A=234。0234。 分塊矩陣233。235。235。235。235。235。234。233。 , A1234。234。233。解密：A1234。235。235。234。234。52 , A234。234。234。9249。1249。235。012234。123249。1, b174。 =234。11233。234。234。1234。7110123233。35 滿足AX=C+2X, 求X．例3 設A=234。510249。X=CB1AXB=C222。m可逆, Bn180。x=A1b(2)求線性變換的逆變換 y=An180。(A+E)(A3E)=E222。01235。55234。例1 A=234。541249。n都可逆222。AB可逆, 且(AB)1=B1A1．對于AB, 取C=B1A1, 有(AB)C=(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=E．(4)A可逆222。0222。A可逆A1=A1E=A1(AB)=(A1A)B=EB=B推論2 對于An180。n滿足AB=E, 則A可逆, 且A1=B．證 AB=E222。0，則有A*A*=A=EAA=AA=(detA)E222。A1=證必要性．已知A1存在，則有AA1=E222。n為可逆矩陣219。 逆矩陣定義：對于An180。LAnnLAn2234。A*=234。233。234。A的各階順序主子式全為正，即a11La1na11a12M0a110，0，L，Ma21a22an1Lann講教材P184 例3四、習題P185 T1(1)(3)T2(3)T3T4T5T6 P186 總復習題： T4T5T6T7 ；T9T12T13第三篇：線性代數(shù)電子教案LA22B：A=(aij)n180。f的標準形的n個系數(shù)全為正219。R(A)=R(B)，且A與B的正慣性指數(shù)相同 二、二次型的正定性定義1：設實二次型f(x)=f(x1,x2,L,xn)=xTAx，若對任意x185。即規(guī)范形中正項的個數(shù)p與負項的個數(shù)rp都是唯一確定的。174。 慣性定理和二次型的正定性AL)190。（2）正交變換法定理：任給二次型f(x)=xTAx，總存在正交矩陣Q，使QTAQ=Q1AQ=L，其中L=diag(l1,l2,L,ln)，l1,l2,L,ln是A的全部特征值。四、習題P175 T1T3T4167。若C是正交矩陣，則稱線性變換x=Cy為正交變換。232。231。231。247。y2247。247。y1246。248。稱為線性變換的矩陣。c232。231。238。x=cy+cy+L+cy239。T則二次型f(x1,x2,K,xn)=xAx，其中A為對稱矩陣。247。247。x=，231。247。230。231。a11231。ni個（i=1,2,L,s）講教材P164 例1和例2四、習題P167 T1T2T4 P167 總復習題：T1 T2 T3 T4 T5 T6；T8 T9 T10 T11T12 T13 T14 T15 T16第六章 特征值和特征向量矩陣的對角化 教學目標與要求，了解矩陣的合同關(guān)系，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標準型，掌握二次型正定的判別方法 教學重點 教學難點 167。其中L=diag(l1,l2,L,ln)，且l1,l2,...,ln是A的n個特征值。定理3：設l是n階實對稱矩陣A的r重特征值，則R(AlE)=nr，即對應特征值l恰有r個線性無關(guān)的特征向量。(2)對每個li，解齊次線性方程組(AliE)x=0，得基礎(chǔ)解系ai1,ai2,...,aini；(3)令P=(a11,a12,L,a1n1,a21,a22,L,a2n2,L,as1,as2,L,asns)，則PAP=L，其中L=diag(l1,L,l1,l2,L,l2,L,ls,L,ls)，這里li的個數(shù)為ni個（i=1,2,L,s）。A的每個k重特征值l對應有k個線性無關(guān)的特征向量（或R(AlE)=nk）。A有n個線性無關(guān)的特征向量。四、習題P157 T1T2T3T4167。A185。aii=1i=1nnii，其中229。N，則(1)l是方陣A的特征值；(2)f(l)=a0+a1l+L+aml是f(A)=a0E+a1A+L+amA的特征值。AlE=0219。四、習題P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5167。j238。即236。232。231。2/61/61/6247。247。=AT），則稱A為正交矩陣。br=arr1b1r2b2L[b1,b1][b2,b2][br1,br1]r1b1=a1； b2=a2講教材P147 例2和例3三、正交矩陣定義6：如果方陣A滿足AA=AA=E（即A230。若正交向量組中的每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標準正交向量組。x+y(4)柯西不等式：[x,y]163。向量的長度具有以下性質(zhì)：(1)非負性：x179。 預備知識一、向量的內(nèi)積定義1：設有n維向量x=(x1,x2,L,xn)，y=(y1,y2,L,yn)，令TT[x,y]=x1y1+x2y2+L+xnyn，稱[x,y]為向量x與y的內(nèi)積。nx=b(2)性質(zhì)1：若h1,h2都是Ax=b的解，則h1h2是Ax=0的解。性質(zhì)2：若x是Ax=0的解，則kx也是Ax=0的解。R(A)+R(B)性質(zhì)2：R(AB)163。三、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系定理3：對矩陣A=(aij)m180。推論3：一個向量組的任意兩個最大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等。注意：上述定理提供了求向量組最大無關(guān)組的方法 定理2：設向量組B:b1,b2,L,br可由向量組A:a1,a2,L,as線性表示，(1)若向量組B線性無關(guān)，則r163。講教材P118例1二、向量組的秩 定義2設向量組A0:a1,a2,L,ar是向量組A:a1,a2,L,am(m179。如果向量組A和向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。i163。（部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)。推論2：m(mn)個n維向量組成的向量組一定線性相關(guān)。2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量可由其余m1個向量線性表示。a=0② 兩個向量a,b的向量組線性相關(guān)219。若它有非零解，即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,L,kn，使得k1a1+k2a2+L+knan=0。顯然，向量b能由向量組A線性表示，也就線性方程組：x1a1+x2a2+L+xnan=b有解。nx=b可以寫成：x1a1+x2a2+L+xnan=b定義：設向量組A:a1,a2,L,am，對于數(shù)k1,k2,L,km，我們稱k1a1+k2a2+L+kmam為向量組A的一個線性組合，k1,k2,L,km稱為這個線性組合的系數(shù)。247。向量組；或A=231。231。232。231。a2j247。a1j246。n248。247。a=231。231。 向量組的線性相關(guān)性一、n維向量及其線性運算：由n個數(shù)a1,a2,L,an組成的有序數(shù)組稱為n維向量。05247。238。2=k，得其通解為：237。即236。232。232。232。1101246。0010247。247。當l=1時，B=231。1121246。248。248。247。231。231。230。231。231。231。247。174。231。0021246。1,l185。lx1+(2l1)x2+3x3=1239。例問l取何值時，下列線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。232。x247。247。R)x8/93239。247。247。239。231。x1=8x4230。232。231。174。0247。109231。0246。232。231。231。0130247。解：231。231。1230246。130246。x1+2x2+3x3=0239。nx=0有非零解219。R(A)R(A,b)齊次線性方程組定理2：對于齊次線性方程組Am180。 線性方程組有解的條件一、線性方程組解的判定非齊次線性方程組定理1：對于非齊次線性方程組Am180。00063a0247。247。0111a2231。a3246。232。231。0111a20111a2231。 174。231。231。112a3246。3554247。247。1231。故R(A)=3230。232。247。231。00454247。解：231。231。230。230。的秩231。231。*(3)若R(A)n1，則A的任意一個n1階子式都為零。1。故A*可逆，從而R(A)=n(2)若R(A)=n1，則AA=AE=0。0,R(A)n1238。R(A)=n236。ErO246。min{R(A),R(B)}⑨ 若Am180。R(A)+R(B)；特別地，當B為列向量b時，有R(A)163。231。R(A)163。n矩陣A的k階子式共有Cm個。0000247。1111例：A=231。230。 矩陣的秩一、k階子式的概念2m,n})，其交叉處的k個元素定義：在m180。190。190。174。(E|A1)或（解矩陣方程AX=B或XA=B（A可逆）初等變換法：(A|B)190。初等行變換190。AE由定理4可知，方陣A可逆219。n定理4：設A為可逆矩陣，則有限個初等矩陣P1,P2,L,Pk，使得A=P1P2LPk 推論：m180。n 247。230。三、初等變換求逆矩陣定理2：對任意一個m180。232。232。10247。21247。01/2247。1247。01246。0246。232。232。232。231。231。231。231。247。230。230。230。232。231。1二、初等矩陣定義：由n階單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。=231。2A1246。1230。k247。O230。231。k230。230。230。1246。O246。O246。O246。n247。230。231。248。232。247。231。232。247。231。1232。230。1230。248。246。247。246。ca248。247。a248。db246。解：A=adbc，A=231。247。ab246。0，則lA可逆，且(lA)1111=A；1=lA1；1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB=AC，則B=C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； =B1A1（穿脫原理）T1=(A1)T；⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)1=(A1)*；⑦若A可逆，則(A*)T=(AT)*；1⑧若A可逆，則A=A1*⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*=B*A*（穿脫原理）證明： ①因為AA1=E，由推論可知，(A1)1=A②因為lA1lA1=AA1=E，由推論可知，(lA)=11lA11③(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E，由推論有，(AB)11④因為A可逆，則AAB=AAC，即EB=EC，故B=C=B1A1⑤AT(A1)T=(A1A)T=ET=E，由推論有，(A)⑥因為A可逆，故A1T1=(A1)T=1*AA1A，且A*=A*=E，從而(A*)1=A； AAAA1又A(A)=(A)A11*1*=A1E，即(A1)*=AA1E=1A A所以(A)*1=(A1)*。同時，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。0，故有**A1*1*A=AA=E AA=1*A。A=E。 逆矩陣一、逆矩陣定義：對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使AB=BA=E則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B=A。同理可得A*A=AE。A1nA2nLAnn248。247。247。247。=231。231。231。230。0,i185。a232。231。248。A22LAn2247。A232。231。性質(zhì)：(1)(A)=A；(2)(A+B)=A+B；(3)(lA)=lA；(4)穿脫原理：(AB)=BA對稱矩陣和反對稱矩陣TT設A=(aij)n180。248。a22L0247。231。a11231。0Lann247。247。231。248。0247。231。l0L231。0Lln247。247。0L1247。247。M231。230。0En=231。f(A)=a0Am+a1Am1+L+am1A+amE仍為一個n階方陣，四、習題P61 T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6167。232。232。01247。00247。；231。（3）A=X=231。230。230。矩陣的乘法滿足下列運算律：(1)結(jié)合律：(AB)C=A(BC)(2)l(AB)=(lA)B=A(lB)(3)分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA例2：舉例說明下列命題是錯誤的（1）若A=0，則A=0；2（2）若A=A，則A=0或A=E； 2（3）若AX=AY，且A185。00248。36248。247。=231。2247。24246。8BA=231。12248。231。 =231。2247。1632246。 解：AB=231。12232。231。230。231。n=Am180。n矩陣C=(cij)m180。n矩陣，l,m為數(shù))：(1)(lm)A=l(mA)；(2)(l+m)A=lA+mA；(3)l(A+B)=lA+lB；(4)1A=A；(5)lA=0219。Mlam2M235。la11234。n，則A+B=(aij+bij)m180。232。M231。231。j=1,2,L,n)230。矩陣的相等：Am180。M247。La2n247。231。a11231。二、習題P50T2 T3 ；P51 總復習題：T1 T2 T3T6第三章矩陣教學目標與要求，掌握矩陣的3種運算(加法、數(shù)乘、乘法)，以及它們的運算律(單位陣、對角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、轉(zhuǎn)置矩陣、對稱和反對稱陣)及其性質(zhì)，掌握方陣行列式的性質(zhì)，熟悉逆矩陣的運算規(guī)律 ，以及常用結(jié)論，掌握初等變換求逆矩陣的方法 ，會用初等變換求矩陣的秩 教學重點，以及初等變換法求逆矩陣，以及初等變換法求矩陣的秩 教學難點，以及求逆的方法 ，以及求秩的方法167。0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D=0。0（這里A=(aij)n180。239。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。即ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn(i185