【正文】 第一篇：線性代數(shù)教案第一章線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學(xué)時）教學(xué)時數(shù)：12學(xué)時教學(xué)目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行（列）展開定理，行列式的計算，克萊姆法則解方程組。教學(xué)重點：行列式的性質(zhì)，行列式按行（列）展開，克萊姆法則解方程組。教學(xué)難點：行列式按行按列展開。本章主要閱讀文獻資料：，《線性代數(shù)》(第4版)，中國人民大學(xué)出版社，2008年2月。，《線性代數(shù)》，北京郵電大學(xué)出版社，2005年10月。，《線性代數(shù)》（第二版），科學(xué)出版社，2010年8月。，《線性代數(shù)學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)》，中國人民大學(xué)出版社，2008年5月。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 二階與三階行列式一．二階行列式引入新課：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。在線性代數(shù)中，將含兩個未知量兩個方程式的線性方程組的一般形式寫為（1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)時，有（2）這就是二元方程組的解的公式。但這個公式不好記，為了便于記這個公式，于是引進二階行列式的概念。（一）定義：我們稱記號為二階行列式，它表示兩項的代數(shù)和：即定義（3）二階行列式所表示的兩項的代數(shù)和，可用下面的對角線法則記憶：從左上角到右下角兩個元素相乘取正號，從右上角到左下角兩個元素相乘取負號，即－ ＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù)，所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式，并用字母D表示，即有如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數(shù)項b1，b2，則可得到另一個行列式，用字母D1表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：，這就是公式（2）中x1 的表達式的分子。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項b1，可得到另一個行列式，用字母D2表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：a11b2b1a21，這就是公式（2）中x2的表達式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為其中D≠0例1 計算51=52（1）3=13 32例2 設(shè)D=l2l31問：(1)當(dāng)λ為何值時D=0(2)當(dāng)λ為何值時D≠0 解：D=l2l31=l23l(1)當(dāng)λ=0或3時，D=0(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時，D≠0含有三個未知量三個方程式的線性方程組的一般形式為（1）還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當(dāng)時，有（2）這就是三元方程組的解的公式。這個公式更不好記，為了便于記它，于是引進三階行列式的概念。（二）定義： 我們稱記號為三階行列式。三階行列式所表示的6項的代數(shù)和，也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素相乘取正號，從右上角到左下角三個元素取負號，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來表示，即有同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項得到另外三個三階行列式，分別記為于是有就可以按照三階行列式的定義，它們都表示6項的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。123例3 405106解：原式=58 例4 實數(shù)a，b滿足什么條件時ab0ba0=0 101ab0解：ba0=a2+b2a，b為實數(shù)，若要a2+b2=0，則a，b需同時等于零。a10例5 1a0＞0的充分必要條件是什么？411a10a10解：1a0=a21，即a＞1時，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要條件a＞1 411作業(yè)：課本35頁，1,2,3,4,5第二篇：線性代數(shù)教案第一章線性方程組的消元法與矩陣的初等變換教學(xué)目標(biāo)與要求 教學(xué)重點運用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學(xué)難點矩陣的初等變換167。 線性方程組的基本概念一、基本概念定義：m個方程n個未知數(shù)的線性方程組為如下形式：236。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。ax+ax+L+ax=b239。2112222nn(1)237。LLLLLLLLLLLL239。239。238。am1x1+am2x2+L+amnxn=bm稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1=b2=L=bm=0時則稱為齊次線性方程組。方程組(1)a12a22Mam2La1n246。247。La2n247。為系M247。247。Lamn247。248。230。a11231。231。a21TA=的一個解為：x=(c1,c2,L,)（或稱為解向量）；此時稱231。M231。231。a232。m1230。a11a12La1n231。231。a21a22La2n數(shù)矩陣，稱B=231。MMM231。231。a232。m1am2Lamn二、線性方程組的消元法b1246。247。b2247。為增廣矩陣。M247。247。bm247。248。236。2x1x2+3x3=1239。例1：解線性方程組237。4x1+2x2+5x3=4239。2x+2x=63238。1236。2x1x2+3x3=1236。2x1x2+3x3=1236。2x1x2+3x3=1239。239。239。解：237。4x2x3=2，237。x2x3=5，237。x2x3=5；239。xx=5239。4xx=2239。3x=18238。23238。23238。3236。2x1x2+3x3=1236。2x1x2=19236。2x1=18236。x1=9239。239。239。239。237。x2x3=5，237。x2=1，237。x2=1，237。x2=1239。x=6239。x=6239。x=6239。x=6238。3238。3238。3238。3從上面可以看出，整個消元過程和回代過程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。故我們隱去x1,x2,x3,=，得到一個數(shù)字陣（即矩陣B），對B進行初等行變換：230。2131246。230。2131246。230。2131246。231。247。231。247。231。247。B=231。4254247。174。231。0412247。174。231。0115247。231。2026247。231。0115247。231。0412247。232。248。232。248。232。248。1246。230。2131246。230。21019246。230。213231。247。231。247。231。247。174。231。0115247。174。231。0115247。174。231。0101247。 231。00318247。231。0016247。231。0016247。232。248。232。248。232。248。230。20018246。230。1009246。231。247。231。247。174。231。0101247。174。231。0101247。 231。0016247。231。0016247。232。248。232。248。1246。230。213230。1009246。231。247。231。247。其中231。0115247。稱為行階梯形矩陣，231。0101247。稱為行最簡形矩陣。231。00318247。231。0016247。232。248。232。248。三、小結(jié)例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對其增廣矩陣B進行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡形矩陣，然后從中讀出所需的解。四、一般解和通解236。x1+2x2x3+2x4=1239。例2：解方程組237。2x1+4x2+x3+x4=5239。x2x2x+x=4234238。1解：2121246。230。12121246。230。12121246。230。1231。247。231。247。231。247。B=231。24115247。174。231。00333247。174。231。00333247。231。12214247。231。00333247。231。00000247。232。248。232。248。232。248。230。12121246。230。12012246。231。247。231。247。174。231。00111247。174。231。00111247。 231。00000247。231。00000247。232。248。232。248。即237。236。x1+2x2+x4=2236。x1=22x2x4，亦即一般解為237。，其中x2,x4為自由未知量。238。x3x4=1238。x3=1+x4236。x1=22c1c2239。x=c239。21令x2=c1,x4=c2，得方程組的通解為237。239。x3=1+c2239。238。x4=c2注意：自由未知量的取法并不唯一。236。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0239。ax+ax+L+ax=0239。2112222nn定理：在齊次線性方程組237。中，若mn（即方程LLLLLLLLLLLL239。239。238。am1x1+am2x2+L+amnxn=0的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)），則它必有非零解。五、習(xí)題P11 T1(2)T2167。 矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換定義：稱由m180。n個數(shù)aij(i=1,2,L,m。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。a11231。231。a21A=231。M231。231。a232。m1a12a22Mam2La1n246。247。La2n247。為矩陣，簡記為A=(aij)m180。n。M247。247。Lamn247。248。二、矩陣的初等行(列)變換①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定理：任意一個m180。n的矩陣A，總可以經(jīng)過初等變換（包括行變換和列變換）化為如230。1231。231。0231。M231。下的標(biāo)準(zhǔn)形：F=231。0231。0231。231。M231。232。00L00L0246。247。1L00L0247。MMMM247。247。230。Er0L10L0247。即Am180。n174。F=231。231。O247。232。0L00L0247。MMMM247。247。0L00L0248。O246。247。 247。O248。其中1的個數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。四、習(xí)題P18T1(4)(5)T2(1)T3 P19 總復(fù)習(xí)題：T3T4第二章行列式教學(xué)目標(biāo)與要求、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì) ，掌握范德蒙德行列式的結(jié)論 教學(xué)重點 教學(xué)難點 167。 二階和三階行列式 一、二階行列式236。a11x1+a12x2=b1230。a11a12246。247。引例：對于線性方程組237。（1），其系數(shù)矩陣為A=231。 231。247。238。a21x1+a22x2=b2232。a21a22248。用消元法解得 237。236。(a11a22a12a21)x1=b1a22b2a12（2）238。(a11a22a12a21)x2=b2a11b1a21a12=a11a22a12a21稱為二階行列式，記D=A=detAa12a11b1，D2= a22a21b2定義：D=a11a21a22a11a12b1236。Dx1=D1那么（2）可以表示為237。，其中D=，D1=aab2Dx=D21222238。2從而x1= 二、三階行列式 D1D,x2=2。DD236。a11x1+a12x2+a13x3=b1230。a11a12231。239。ax+ax+ax=b定義：對于三元線性方程組237。211a222222332，記A=231。a21239。ax+ax+ax=b231。a3232。31a32238。311322333a11稱D=A=detA=a21a13246。247。 a23247。，a33247。248。a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 為三階行列式。a11三對角線法則（記憶）：D=a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、習(xí)題P25 T1(2)(3)(5)T2T3167。 n階行列式的定義和性質(zhì)一、排列與逆序數(shù)：由1,2,L,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。（n級排列共有n!個）定義2：在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記作t。)=4+0+2+1+0=7（奇排列）例：t(25431；)=14+1+2+1+0=8（偶排列）t(5243。定理：對換改變排列的奇偶性；在全部n級排列中，奇、偶排列的個數(shù)相等，各有二、n階行列式的定義n!個。：n階矩陣A=(aij)n180。n230。a11231。231。a=231。21M231。231。a232。m1a12a22Mam2La1n246。247。La2n247。，則n階行列式定義如下： M247。247。Lamn247。248。a11 D=A=a12La1np1p2Lpna21Man1a22La2n=MMan2Lann229。(1)t(p1p2Lpn)a1p1a2p2Lanpn這里，229。表示對1,2,L,n這n個數(shù)的所有排列p1p2Lpn求和。即n階行列式是指n!項取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和。例：（常用結(jié)論）a11（1）a11a22Oann0=a11a22Lann=M0n(n1)2a12La1na110L00 Ma22La2na21=MOMM0Lannan1a22LMOan2Lannl1（2）l2N=(1)l1l2Llnlnn階行列式的等價定義定理：D=t1+t2(1)ai1j1ai2j2Lainjn；其中t1為行標(biāo)排列i1i2Lin的逆序數(shù)，t2為列229。標(biāo)排列j1j2Ljn的逆序數(shù)。三、行列式的性質(zhì)設(shè)n階矩陣A=(aij)n180。n的行列式為D=A，則D有如下性質(zhì)：T①A=A；②交換兩行（列），則D變號；③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。特別地，若某行（列）為0，則D=0；若某兩行（列）成比例，則D=0。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項之和，則D等于兩個行列式的和。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），則D不變。123例：②如211111211234=234；③如339=32113***123123④如456=123+333；112112112111111111111⑤如2334=012=012=012=0 45345012000注意：計算行列式的常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開公式(下一節(jié))。四、習(xí)題P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)167。 行列式的展開公式一、余子式與代數(shù)余子式定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來的順序所構(gòu)成的n1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij=(1)i+jMij，稱Aij為aij的代數(shù)余子式。：***中，a11=1的余子式為M11=412，代數(shù)余子式為 23411234A11=(1)1+1M11=M11，a21=4的余子式為M21=412，代數(shù)余子式為341A21=(1)2+1M21=M21，二、展開公式定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。即可按第i行展開D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin(i=1,2,L,n)或可按第j列展開D=a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnj(j=1,2,L,n)14如：322143321443=1A11+2A12+3A13+4A14=1A11+4A21+3A31+2A41 21講解P42例2和例3三、范德蒙德行列式1x1Dn=x12Mx1n1 1x22x2Mn1x21x32x3M1LL1xn2=xnM1163。ij163。n213。(xjxi)n1n1x3Lxn推論：行列式某行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn(i185。