【正文】 4x1+2x2+x3+2x4+3x5=4例子: +2x+3x+2x+x=02345239。6x1+3x2+2x3+3x4+4x5=5239。（或先寫出以U為增廣矩陣的同解方程組也可。情形3。情形2。b c a]：zeros(m,n)zeros(n)ones(m,n)ones(n)eye(n)magic(n)rand(m,n)randn(n)% 產(chǎn)生（0,1）區(qū)間均勻分布的隨機(jī)矩陣：round(A)% 表示對(duì)矩陣A中所有元素進(jìn)行四舍五入 length(A)% 返回A的長度（列數(shù)）size(A)% 返回Ａ的尺寸，行數(shù) 列數(shù) A(i,j)% 引用矩陣A的第i行第j列元素(1).+*.*(2).轉(zhuǎn)置 A’(3).方陣的冪：A^3A=[a1,a2,a3 ](1).U=rref(A)% U為A的行最簡形(2).[U,s]=rref(A)% U為A的行最簡形, s為首非零元所在列組成的向量(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最簡形，且給出每一步化簡過程情形1。b,c,a]’)或 sym(‘[a b c。3 2 1]或 A=[1, 2, 3。課后作業(yè)：習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14第四篇：Matlab 與線性代數(shù)教案Matlab 與線性代數(shù)一、Matlab 入門：、退出、運(yùn)行： ： ： =：賦值符號(hào)[ ]：數(shù)組定義符號(hào) , 區(qū)分列 函數(shù)參數(shù)分隔符。235。 =234。CX2+BX4=EnM1233。CX1+BX3=O239。2237。AX1=Em239。EnO=A1=O=BCA=B111O249。X4Em=234。X4X2249。X3239。X2237。X1239。235。X235。CB233。233。 , X4235。M可逆233。 解 detM=(detA)(detB)185。235。m, M=234。m與Bn180。AO249。023A2234。015249。00249。 A2235。233。235。234。例2 A=031=234。A1234。500249。O1A2249。234。234。A11234。Ai(i=1,2,L,s)可逆(3)Ai(i=1,2,L,s)可逆222。As 235。A=dia(g234。A1234。LAsrMLAsT1249。235。234。M234。T=234。234。A11233。：Am180。1024110330249。2234。A21+B22234。1234。235。B11233。 B22235。234。1234。O249。B21234。=233。11235。E01012100100249。1234。0例1 A=234。 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．233。Cs1LCsr 234。AB=234。234。 11 233。235。=Ai1B1j+L+AitBtj234。LAit]234。234。Cij=[Ai1233。Bt1LBtr235。234。234。n234。=234。234。B11LB1r249。A11LA1t249。：Am180。kAs1LkAsr234。MM234。n233。235。A11+B11LA1r+B1r249。：Am180。Bs1LBsr235。234。234。n234。=234。234。B11LB1r249。A11LA1r249。A22A12249。011249。A21234。=233。010235。234。1234。235。234。1234。167。101明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action234。14234。43234。20234。43234。15=234。9249。5281249。31249。4467249。發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 233。43234。14235。235。=234。234。443加密：A234。233。233。233。action：1, 3, 20, 9, 15, 14 233。111235。234。221234。112A=234。233。26233。2,c174。密碼問題：a174。0111 9解并項(xiàng)：(A*2E)X=A1左乘A： [(detA)E2A]X=Et=4計(jì)算：deAX=(4E2A)1=1(2EA)12233。235。234。111234。111249。235。235。011234。=234。234。31=234。21249。541249。解并項(xiàng)：(A2E)X=C計(jì)算：X=(A2E)1C0249。216235。234。234。231234。20233。X=A1CB1233。X=A1CXB=C222。n可逆, 且Cm180。x=A1y(3)矩陣方程求解設(shè)Am180。nx, detA185。0222。(A+E)1=A3E應(yīng)用：(1)n階線性方程組求解 An180。A22A3E=E222。例2 設(shè)An180。235。1141234。211234。10123233。(AB)*=B*A*．證(AB)*=[det(AB)](AB)1=[(detA)(detB)][B1A1]=[(deBt)B1][(deAt)A1]=B*A*負(fù)冪：A可逆, 定義A0=E, Ak=(A1)k(k=1,2,L), 則有AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(k,l為整數(shù))233。n與Bn180。AT可逆, 且(AT)1=(A1)T．對(duì)于AT, 取B=(A1)T, 有ATB=AT(A1)T=(A1A)T=E．(5)A可逆222。n都可逆222。kA可逆, 且(kA)1=A1．k11對(duì)于kA, 取B=A1, 有(kA)B=(kA)(A1)=AA1=E．kk(3)An180。A1可逆, 且(A1)1=A．對(duì)于A1, 取B=A, 有A1B=A1A=E．(2)A可逆, k185。n, 若有Bn180。0222。detAdetB=1222。n, 若有Bn180。AdetAdetA1A*．由定義知A為可逆矩陣，且A1=detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA185。0充分性．已知detA185。detAdetA1=1222。n為可逆矩陣222。detA185。n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．證設(shè)B與C都是A的逆矩陣, 則有AB=BA=E, AC=CA=EB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理2 An180。n, 若有Bn180。n．算律：(1)(A+B)=A+B(2)(kA)=kA(3)(AB)=AB(4)(A)=(A)=AH167。重要性質(zhì)：AA*=A*A=(detA)E：復(fù)矩陣A=(aij)m180。A1nA21A22MA2nLAn1249。Lann12234。A11234。an1a12a22Lan2La1n249。L234。a21A=234。n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．233。A與單位矩陣合同； 219。f的正慣性指數(shù)p=n； 219。A的n個(gè)特征值全為正；219。0，都有f(x)0，則稱f為正定二次型，并稱其對(duì)稱矩陣A為正定矩陣。A與B的規(guī)范形相同219。定理2：實(shí)對(duì)稱陣A與B合同219。慣性定理的等價(jià)表述：任意一個(gè)秩為r的實(shí)二次型f都可以經(jīng)過滿秩線性變換化為規(guī)范形，且其規(guī)范形是唯一的。()EC一、慣性定理和規(guī)范形定理1：設(shè)實(shí)二次型f=xTAx的秩為r，有兩個(gè)實(shí)滿秩線性變換x=Cy及x=Pz，222使得 f=k1y1+L+kpy2,2,L,r)（1）pkp+1yp+1Lkryr(ki0,i=12222及f=l1z1+L+lqzqlq+1zq,2,L,r)+1Llrzr(li0,i=1則p=q；且稱p為二次型f的正慣性指數(shù)，rp為二次型f的負(fù)慣性指數(shù)。190。合同變換190。即（三、習(xí)題P181T1T3T4167。22即存在正交變換x=Qy使f化為標(biāo)準(zhǔn)形：（其中l(wèi)1,l2,L,lnl1x12+l2x2+L+lnxn是對(duì)稱矩陣A的全部特征根）講書上P176 例1（3）初等變換法由于任意對(duì)稱陣A都存在可逆矩陣C，使CAC為對(duì)角陣；由于C是可逆陣，故可表TTTT示一系列初等矩陣的乘積。步驟：若f中含變量項(xiàng)xi的平方項(xiàng)，則先將所有含xi的項(xiàng)合并在一起配成完全平方，依次類推直到都配成完全平方項(xiàng)；若f中不含任何平方項(xiàng)，則令x1=y1+y2,x2=y1y2，xk=yk，使f中出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按照前面的思路進(jìn)行配方。 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形T一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形222定義：形如d1x1的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。2．合同的性質(zhì)A① 反身性：對(duì)任意方陣A，都有A~B，則B~A② 對(duì)稱性：若A~C B,B~C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)對(duì)角陣L（L是以A的n個(gè)特征根為對(duì)角元的對(duì)角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC=L。因此，我們有f(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy，其中B=CTAC，而且 BT=(CTAC)T=CTATC=CTAC=B三、矩陣的合同1．定義3：設(shè)A,B為兩個(gè)n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C，使得CAC=B，則TB。0，則稱線性變換x=Cy為非退化的(或滿秩變換)；否則，稱為退化的(或降秩變換)。n248。n248。y247。x247。247。247。則線性變換可用矩陣形式表示：x=Cy。y=231。記x=231。231。x231。231。231。230。c12230。2Ln247。247。c22Lc2n247。n1Lc1n246。231。c21其中，矩陣C=231。c11231。xn=1y1+2y2+L+nyn的一個(gè)線性變量替換，簡稱線性變換。..........239。22112222nn定義2：稱237。x1=c11y1+c12y2+L+c1nyn239。由此可見，對(duì)稱矩陣A與二次型f是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故稱對(duì)稱矩陣A為二次型f的矩陣，也稱二次型f為對(duì)稱矩陣A的二次型，R(A)也稱為二次型f的秩。n248。Lann248。x247。247。231。M247。x2247。La2n247。231。x1246。anijxixjLa1n246。a232。L231。231。為了便于用矩陣討論二次型，令aij=aji，則二次型為：f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+2 a21x2x1+a22x2+L+a2nx2xn+.................................................2 an1xnx1+an2xnx2+L+annxn=230。 二次型及其矩陣表示 一、二次型及其矩陣表示定義1：含有n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：22f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a22x2+L+annxn+ +2a12x1x2+2a13x1x3+L+2an1,nxn1xn稱為二次型。(2)對(duì)每個(gè)li，解齊次線性方程組(AliE)x=0，得基礎(chǔ)解系ai1,ai2,...,aini；(3)利用施密特正交化方法將ai1,ai2,...,aini正交化，得正交向量組bi1,bi2,...,bini，再單位化得規(guī)范正交向量組gi1,gi2,...,gini（i=1,2,L,s）；(4)令P=(g11,g12,L,g1n1,g21,g22,L,g2n2,L,gs1,gs2,L,gsns)，則P為正交矩陣，且P1AP=PTAP=L，其中L=diag(l1,L,l1,l2,L,l2,L,ls,L,ls)，這里li的個(gè)數(shù)為。三、實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法n階實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)角化的步驟：(1)解特征方程AlE=0，求出A的全部特征值l1,l2,...,ls，其中l(wèi)i是ni重特征值（i=1,2,L,s），s229。1T定理5：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP=PAP=L。二、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似理論定理4：任意實(shí)對(duì)稱矩陣A都與對(duì)角矩陣相似。定理2：實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。四、習(xí)題P162 T1T2T3T4T5T6167。ni=1i=n。即A的幾何重?cái)?shù)nR(AlE)等于代數(shù)重?cái)?shù)k。定理3：n階方陣A可對(duì)角化219。推論：n階方陣A有n個(gè)互異的特征值222。定理2：n階方陣A可對(duì)角化219。 相似矩陣一、相似矩陣的概念定義1：設(shè)A,B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使PAP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B，可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。講教材P154 例5和例6性質(zhì)4：l1,l2,L,lm是方陣A的互異特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量依次為p1,p2,L,pm，則向量組p1,p2,L,pm線性無關(guān)。0219。 0是A的特征值；A可逆219。ai=1nii=tr(A)稱為A的跡；(2)213。l=229。性質(zhì)3：設(shè)n階方陣A=(aij)n180。性質(zhì)2：設(shè)l是方陣A的特征值，k,m206。特征矩陣：(AlE)或者(lEA)lEA=0a11l特征多項(xiàng)式：AlE=a12Man2LOa1na2nM=j(l)a21Man1a22lLLannlnn1=al+al+L+an1l+an0[a0=(1)n]二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟(1)求出特征方程j(l)=AlE=0的全部根l1,l2,...,ln，即是A的特征值；(2)對(duì)于每個(gè)特征值li求解線性方程組(AliE)x=0，得出的基礎(chǔ)解系就是A的屬于特征值li的特征向量；基礎(chǔ)解系的線性組合就是A的屬于特征值li的全部特征向量。(AlE)x=0 或者(lEA)x=0(AlE)x=0有非零解219。 特征值和特征向量T1一、特征值與特征向量的概念定義1：設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)l和非零列向量x，使得Ax=lx，稱l為方陣A的特征值，非零列向量x稱為A的屬于特征值l的特征向量。定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換。定理3：設(shè)A,B都是n階正交方陣，則(1)A=177。(i,j=1,2,L,n)（其中A=(a1,a2,L,an)）0,i185。1,i=jATA=E219。A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。248。247。231。cosq248。都是正交陣。231。sinq246。231。230。sinq232。cosq例如：En，231。令[a2,b1]b；L；[b1,b1]1[a,b][a,b][ar,br1]b。定理1：若n維向量a1,a2,L,ar是一組兩兩正交的非零向量，則a1,a2,L,ar線性無關(guān)。定義5：若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。xy[x,y]xy為n維向量x與y的夾角。0時(shí)，稱q=arccoslx=lx(3)三角不等式：x+y163。0(2)齊次性：定義3：當(dāng)x185。當(dāng)x=1時(shí)，稱x為單位向量。內(nèi)積的性質(zhì)：(1)[x,y]=[y,x](2)[lx,y]=l[x,y](3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z](4)[x,x]179。講教材P132 例3和例4三、習(xí)題P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T4 T5 T6至T13第五章 特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化教學(xué)目標(biāo)與要求，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì) ，掌握它們的性質(zhì)及其求法 ，掌握相似矩陣的性質(zhì)，熟悉實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。性質(zhì)2：若x是Ax=0的解，h是Ax=b的解，則x+h是Ax=b的解。講教材P128 例1和例2二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對(duì)于非齊次線性方程組Am180。定義1：設(shè)x1,x2,L,xk是Ax=0的非零解，且滿足(1)x1,x2,L,xk線性無關(guān)；(2)Ax=0的任一個(gè)解x都可由x1,x2,L,xk線性表示，即x=c1x1+c2x2+L+ckxk 則稱x1,x2,L,xk是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系；且Ax=0的通解可表示為如下形式：x=c1