【正文】 +a2iA2j+L+aniAnj(i185。(xjxi)n1n1x3Lxn推論：行列式某行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。ij163。：***中，a11=1的余子式為M11=412，代數(shù)余子式為 23411234A11=(1)1+1M11=M11，a21=4的余子式為M21=412，代數(shù)余子式為341A21=(1)2+1M21=M21，二、展開公式定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。四、習(xí)題P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)167。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），則D不變。特別地，若某行（列）為0，則D=0；若某兩行（列）成比例，則D=0。三、行列式的性質(zhì)設(shè)n階矩陣A=(aij)n180。例：（常用結(jié)論）a11（1）a11a22Oann0=a11a22Lann=M0n(n1)2a12La1na110L00 Ma22La2na21=MOMM0Lannan1a22LMOan2Lannl1（2）l2N=(1)l1l2Llnlnn階行列式的等價(jià)定義定理：D=t1+t2(1)ai1j1ai2j2Lainjn；其中t1為行標(biāo)排列i1i2Lin的逆序數(shù)，t2為列229。表示對(duì)1,2,L,n這n個(gè)數(shù)的所有排列p1p2Lpn求和。a11 D=A=a12La1np1p2Lpna21Man1a22La2n=MMan2Lann229。Lamn247。則n階行列式定義如下： M247。247。a232。21M231。231。n230。定理：對(duì)換改變排列的奇偶性；在全部n級(jí)排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有二、n階行列式的定義n!個(gè)。（n級(jí)排列共有n!個(gè)）定義2：在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作t。a11三對(duì)角線法則（記憶）：D=a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、習(xí)題P25 T1(2)(3)(5)T2T3167。248。 a23247。311322333a11稱D=A=detA=a21a13246。a3232。a21239。ax+ax+ax=b定義：對(duì)于三元線性方程組237。a11a12231。DD236。其中D=，D1=aab2Dx=D21222238。(a11a22a12a21)x2=b2a11b1a21a12=a11a22a12a21稱為二階行列式，記D=A=detAa12a11b1，D2= a22a21b2定義：D=a11a21a22a11a12b1236。236。a21a22248。238。 231。引例：對(duì)于線性方程組237。a11a12246。 二階和三階行列式 一、二階行列式236。其中1的個(gè)數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。 247。O246。247。0L00L0247。O247。F=231。即Am180。230。MMMM247。247。232。231。0231。M231。231。n的矩陣A，總可以經(jīng)過(guò)初等變換（包括行變換和列變換）化為如230。二、矩陣的初等行(列)變換①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。Lamn247。M247。為矩陣，簡(jiǎn)記為A=(aij)m180。247。a232。M231。231。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。 矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換定義：稱由m180。am1x1+am2x2+L+amnxn=0的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)），則它必有非零解。239。2112222nn定理：在齊次線性方程組237。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0239。x4=c2注意：自由未知量的取法并不唯一。x3=1+c2239。21令x2=c1,x4=c2，得方程組的通解為237。x1=22c1c2239。x3x4=1238。其中x2,x4為自由未知量。x1+2x2+x4=2236。即237。232。232。231。 231。231。00111247。174。231。231。230。230。232。232。232。231。231。231。231。00333247。174。B=231。231。231。1231。12121246。12121246。1解：2121246。2x1+4x2+x3+x4=5239。x1+2x2x3+2x4=1239。三、小結(jié)例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對(duì)其增廣矩陣B進(jìn)行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡(jiǎn)形矩陣，然后從中讀出所需的解。232。232。231。231。0101247。0115247。247。247。1009246。230。248。248。0016247。0016247。0101247。174。231。247。247。1009246。20018246。248。248。248。0016247。0016247。00318247。0101247。174。231。0115247。174。231。231。213231。21019246。2131246。1246。232。232。232。231。231。231。231。0412247。174。B=231。231。231。231。230。230。故我們隱去x1,x2,x3,=，得到一個(gè)數(shù)字陣（即矩陣B），對(duì)B進(jìn)行初等行變換：230。3238。3238。x=6239。x=6239。x2=1，237。x2x3=5，237。239。239。2x1=18236。2x1x2+3x3=1236。23238。3x=18238。xx=5239。x2x3=5，237。解：237。239。2x1x2+3x3=1236。1236。4x1+2x2+5x3=4239。2x1x2+3x3=1239。248。247。為增廣矩陣。247。a232。MMM231。231。m1230。231。a21TA=的一個(gè)解為：x=(c1,c2,L,)（或稱為解向量）；此時(shí)稱231。a11231。248。247。La2n247。方程組(1)a12a22Mam2La1n246。238。LLLLLLLLLLLL239。ax+ax+L+ax=b239。 線性方程組的基本概念一、基本概念定義：m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組為如下形式：236。123例3 405106解：原式=58 例4 實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件時(shí)ab0ba0=0 101ab0解：ba0=a2+b2a，b為實(shí)數(shù)，若要a2+b2=0，則a，b需同時(shí)等于零。（二）定義： 我們稱記號(hào)為三階行列式。于是二元方程組的解的公式又可寫為其中D≠0例1 計(jì)算51=52（1）3=13 32例2 設(shè)D=l2l31問(wèn)：(1)當(dāng)λ為何值時(shí)D=0(2)當(dāng)λ為何值時(shí)D≠0 解：D=l2l31=l23l(1)當(dāng)λ=0或3時(shí)，D=0(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時(shí)，D≠0含有三個(gè)未知量三個(gè)方程式的線性方程組的一般形式為（1）還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當(dāng)時(shí)，有（2）這就是三元方程組的解的公式。（一）定義：我們稱記號(hào)為二階行列式，它表示兩項(xiàng)的代數(shù)和：即定義（3）二階行列式所表示的兩項(xiàng)的代數(shù)和，可用下面的對(duì)角線法則記憶：從左上角到右下角兩個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角兩個(gè)元素相乘取負(fù)號(hào)，即－ ＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù)，所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式，并用字母D表示，即有如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數(shù)項(xiàng)b1，b2，則可得到另一個(gè)行列式，用字母D1表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：，這就是公式（2）中x1 的表達(dá)式的分子。在線性代數(shù)中，將含兩個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程式的線性方程組的一般形式寫為（1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)時(shí)，有（2）這就是二元方程組的解的公式。，《線性代數(shù)學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)》，中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008年5月?！毒€性代數(shù)》，北京郵電大學(xué)出版社，2005年10月。教學(xué)難點(diǎn)：行列式按行按列展開。第一篇：線性代數(shù)教案第一章線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學(xué)時(shí)）教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí)教學(xué)目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行（列）展開定理，行列式的計(jì)算，克萊姆法則解方程組。教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)，行列式按行（列）展開，克萊姆法則解方程組。本章主要閱讀文獻(xiàn)資料：，《線性代數(shù)》(第4版)，中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008年2月?！毒€性代數(shù)》（第二版），科學(xué)出版社，2010年8月。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 二階與三階行列式一．二階行列式引入新課：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。但這個(gè)公式不好記，為了便于記這個(gè)公式，于是引進(jìn)二階行列式的概念。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項(xiàng)b1，可得到另一個(gè)行列式，用字母D2表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：a11b2b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。這個(gè)公式更不好記，為了便于記它，于是引進(jìn)三階行列式的概念。三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào)，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來(lái)表示，即有同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)得到另外三個(gè)三階行列式，分別記為于是有就可以按照三階行列式的定義，它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達(dá)式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。a10例5 1a0＞0的充分必要條件是什么？411a10a10解：1a0=a21，即a＞1時(shí)，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要條件a＞1 411作業(yè)：課本35頁(yè)，1,2,3,4,5第二篇：線性代數(shù)教案第一章線性方程組的消元法與矩陣的初等變換教學(xué)目標(biāo)與要求 教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學(xué)難點(diǎn)矩陣的初等變換167。a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1239。2112222nn(1)237。239。am1x1+am2x2+L+amnxn=bm稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1=b2=L=bm=0時(shí)則稱為齊次線性方程組。247。為系M247。Lamn247。230。231。M231。a232。a11a12La1n231。a21a22La2n數(shù)矩陣，稱B=231。231。m1am2Lamn二、線性方程組的消元法b1246。b2247。M247。bm247。236。例1：解線性方程組237。2x+2x=63238。2x1x2+3x3=1236。2x1x2+3x3=1239。239。4x2x3=2，237。x2x3=5；239。4xx=2239。23238。3236。2x1x2=19236。x1=9239。239。237。x2=1，237。x2=1239。x=6239。x=6238。3238。3從上面可以看出，整個(gè)消元過(guò)程和回代過(guò)程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。2131246。2131246。2131246。247。247。247。4254247。231。174。0115247。2026247。0115247。0412247。248。248。248。230。230。230。247。247。247。231。174。0115247。231。 231。231。231。232。232。232。230。230。231。231。174。0101247。231。 231。231。232。232。1246。213230。231。231。其中231。稱為行階梯形矩陣，231。稱為行最簡(jiǎn)形矩陣。00318247。0016247。248。248。四、一般解和通解236。例2：解方程組237。x2x2x+x=4234238。230。230。230。247。247。247。24115247。231。174。00333247。12214247。00333247。00000247。248。248。248。12121246。12012246。247。247。231。174。00111247。00000247。00000247。248。248。236。x1=22x2x4，亦即一般解為237。238。x3=1+x4236。x=c239。239。238。236。ax+ax+L+ax=0239。中，若mn（即方程LLLLLLLLLLLL239。238。五、習(xí)題P11 T1(2)T2167。n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,L,m。a11231。a21A=231。231。m1a12a22Mam2La1n246。La2n247。n。247。248。三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定理：任意一個(gè)m180。1231。0231。下的標(biāo)準(zhǔn)形：F=231。0231。M231。00L00L0246。1L00L0247。247。Er0L10L0247。n174。231。232。MMMM247。0L00L0248。247。O248。四、習(xí)題P18T1(4)(5)T2(1)T3 P19 總復(fù)習(xí)題：T3T4第二章行列式教學(xué)目標(biāo)與要求、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì) ，掌握范德蒙德行列式的結(jié)論 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。a11x1+a12x2=b1230。247。（1），其系數(shù)矩陣為A=231。247。a21x1+a22x2=b2232。用消元法解得 237。(a11a22a12a21)x1=b1a22b2a12（2）238。Dx1=D1那么（2）可以表示為237。2從而x1= 二、三階行列式 D1D,x2=2。a11x1+a12x2+a13x3=b1230。239。211a222222332，記A=231。ax+ax+ax=b231。31a32238。247。a33247。a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31 為三階行列式。 n階行列式的定義和性質(zhì)一、排列與逆序數(shù)：由1,2,L,n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。)=4+0+2+1+0=7（奇排列）例：t(25431；)=14+1+2+1+0=8（偶排列）t(5243。：n階矩陣A=(aij)n180。a11231。a=231。231。m1a12a22Mam2La1n246。La2n247。247。248。(1)t(p1p2Lpn)a1p1a2p2Lanpn這里，229。即n階行列式是指n!項(xiàng)取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。標(biāo)排列j1j2Ljn的逆序數(shù)。n的行列式為D=A，則D有如下性質(zhì)：T①A=A；②交換兩行（列），則D變號(hào)；③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項(xiàng)之和，則D等于兩個(gè)行列式的和。123例：②如211111211234=234；③如339=32113***123123④如456=123+333；112112112111111111111⑤如2334=012=012=012=0 45345012000注意：計(jì)算行列式的常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開公式(下一節(jié))。 行列式的展開公式一、余子式與代數(shù)余子式定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來(lái)的順序所構(gòu)成的n1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij=(1)i+jMij，稱Aij為aij的代數(shù)余子式。即可按第i行展開D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin(i=1,2,L,n)或可按第j列展開D=a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnj(j=1,2,