高等代數(shù)教案第一章基本概念-展示頁
2025-04-26 12:57本頁面
【正文】 這是A到自身的一個映射（稱為A的變換）,稱為恒等映射（此為恒等變換）,記為.定義2. 設(shè)都是A到B的映射,若對都有,則稱映射與相等,記為.如：.有.2．映射的合成（1）定義3. 設(shè)是兩個映射,對,有,從而,這樣,對就有C中唯一的與之對應(yīng),就得到A到C的一個映射,這個映射是由和所決定的,.即：. 例子： .則. （2）映射合成滿足結(jié)合律： 設(shè)則由合成映射的定義可得的兩個映射：,則.3．幾類特殊映射定義4. 設(shè)對有,則所有這樣的象所作成B的子集,用表示,即,叫做A在下的象,或叫做映射的象.（1）滿射: 定義5. 設(shè)是一映射,若,則稱是A到B上的一個映射,也稱是一個滿射.（2）單射: 定義6. 設(shè)是一個映射,若對,只要,就有,則稱是A到B的一個單射,簡稱單射.（3）雙射（11對應(yīng)）:定義7. 若既是單射又是滿射,即 1）若 ； 2）.則稱是A到B的一個雙射.特別若是A到A上的一個11對應(yīng),就稱為A的一個一一變換；有限集A到自身的雙射稱為A的一個置換.如：是A的一個一一變換,：若,則有.,則：下述兩條等價：1）是雙射；2））成立時,其中的由唯一決定.（4）可逆映射及其逆映射定義8. 設(shè),若存在,使得,則稱是可逆映射,且稱為的逆映射.求其逆的方法由定理知：,所以可先證可逆（雙射）,（若（即對,找在下的原象）.（5）代數(shù)運算引例：我們常說整數(shù)加法是整數(shù)的一個“代數(shù)運算”.其意思是說對任一對整數(shù),有確定的唯一一個整數(shù)（通過相加）與之對應(yīng),用映射的觀點來說整數(shù)加法是的一個映射：.：定義9. 設(shè)A是一個非空集合, 有代數(shù)運算,也說A對封閉. 數(shù)學(xué)歸納法一 教學(xué)思考1. 本節(jié)主要介紹了數(shù)學(xué)證明中的一種非常重要的方法——數(shù)學(xué)歸納法；對于該內(nèi)容學(xué)生不感陌生,為此需要一個原理——（自然數(shù)集的）最小數(shù)原理.2. 本節(jié)主要講清最小數(shù)原理（給出分析證明及必要的說明）,——從特殊認(rèn)識一般的思想方法,及數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用中的關(guān)鍵（第二步）的突破.二 內(nèi)容、重點、要求1. 內(nèi)容：最小數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法（第一
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