高等代數(shù)--第一章行列式(已修改)
2024-12-19 18:39 本頁(yè)面
【正文】 第一章 行列式 ? 二階與三階行列式 ? 排列 ? n階行列式 ? n階行列式的性質(zhì) ? 行列式按一行（列）展開(kāi) ? Cramer法則 本章內(nèi)容 ? 行列式概念的形成 ? 行列式的基本性質(zhì)和計(jì)算方法 ? 利用行列式來(lái)解線性方程組 山東理工大學(xué) 167。 1 二階與三階行列式 它們是從二元和三元線性方程組的公式解中引出來(lái)的 山東理工大學(xué) 二階行列式 二元線性方程組： 當(dāng)二階行列式 時(shí) , 該方程組有唯一解 : ???????22221211212111bxaxabxaxa022211211 ?aaaa222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx ??山東理工大學(xué) 三階行列式 ? 對(duì)于三元線性方程組 , 我們同樣可以得到三階行列式 11 12 1321 22 2331 32 3311 22 33 12 23 31 13 21 3213 22 31 12 21 33 11 23 32a a aa a aa a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a???? ? ?山東理工大學(xué) ? 本章我們討論一般的 n元一次方程組，即線性方程組。在這一章中，我們將利用 n行列式的概念，將上述結(jié)論推廣到 n元線性方程組 的情形 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????22112222212111212111山東理工大學(xué) 167。 2 排列 ? n 級(jí)排列的定義 ? 排列中兩個(gè)數(shù)的順序、反序 ? 排列的反序數(shù) ? 奇排列、偶排列的定義 ? 對(duì)換的定義 ? 定理：一個(gè)對(duì)換改變排列的奇偶性 山東理工大學(xué) ? 定義 1 由 1， 2， … ， n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè) n級(jí)排列 . 如， 2341是一個(gè) 4級(jí)排列， 54321是一個(gè) 5級(jí)排列。 n級(jí)排列的總數(shù)是 : n(n1)(n2)…21=n! ? 12… n稱(chēng)為自然排列 . ? 定義 2 在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后 山東理工大學(xué) 面的數(shù)，那么它就稱(chēng)為一個(gè)反序，一個(gè)排列中，反序的總數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的反序數(shù) .排列 的反序數(shù)記為 例如 : ? 定義 3 反序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列；反序數(shù)為奇數(shù)的排列為奇排列 . 例如 2431是偶排列； 45321是奇排列；123… n是偶排列 . njjj ?21)( 21 njjj ???)5 3 4 1 2(? 8山東理工大學(xué) 我們同樣可以考慮由任意 n個(gè)不同的自然數(shù)所 組成的排列，一般也稱(chēng)為 n級(jí)排列 . 把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列。這樣一個(gè)變換稱(chēng)為對(duì)換 . 例如 3421經(jīng) 3， 1 對(duì)換就變成了 然，如果連續(xù)施行兩次相同的對(duì)換就還原了 . 山東理工大學(xué) ? 定理 1 對(duì)換改變排列的奇偶性 . 證明 先看一個(gè)特殊情況，即對(duì)換的兩個(gè)數(shù)在排列中是相鄰情形 . 排列 … j k… （ 1） 經(jīng)過(guò) j, k對(duì)換變成 … K j… （ 2） 這里“ … ”表示那些不動(dòng)的數(shù) . 顯然 (1)與 (2)中，不同的只是 j, k的次序； 如果 (1)中 j, k 構(gòu)成反序，那么 (2)的反序數(shù)減少一個(gè)； 如果 (1)中 j, k不構(gòu)成反序，那么 (2)的反序數(shù)增加一個(gè) . 無(wú)論增加 1，還是減少 1，排列的反序數(shù)的奇偶性總是變了 . 再看一般情形 . 設(shè)排列 (3) 經(jīng) j, k 對(duì)換， (3)變成 (4) ??? kiiji s11??? jiiki s11 不難看出，這樣一個(gè)對(duì)換可以看為， k經(jīng) s+1個(gè)相鄰對(duì)換將（ 3）變?yōu)? 再將 j一位一位地向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò) s個(gè)相鄰對(duì)換變成排列（ 4） . 因此， j,k對(duì)換，可以通過(guò)2s+1個(gè)相鄰對(duì)換實(shí)現(xiàn) . 而 2s+1是奇數(shù)，所以，改變排列的奇偶性 . ? 定理 2在所有的 n元排列中奇偶排列各為 n!/2. ??? siikji 11167。 3 n階行列式 ? 二階、三階行列式的定義 ? n階行列式的定義 ? 特殊行列式的計(jì)算 ? 二階行列式與三階行列式定義 ： 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2(1)aaa a a aaa??（ 1） （ 2） 11 12 1321 22 2331 32 3311 22 33 12 23 31 13 21 3213 22 31 12 21 33 11 23 32( 2)a a aa a aa a aa a a a a a a a
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