第一章非線性振動初步(已修改)
2024-10-27 13:16 本頁面
【正文】 第一章 非線性振動初步 第一節(jié) 無阻尼單擺的自由振蕩 第二節(jié) 阻尼振子 第三節(jié) 相圖方法 第四節(jié) 受迫振蕩 非線性振動初步 第一節(jié) 無阻尼單擺的自由振蕩 1 小角度無阻尼單擺 橢圓點 2 任意角度無阻尼單擺振動 雙曲點 3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線 由牛頓第二定律： 非線性方程 式中角頻率： ?? s in22 mgFdtdlm ???0s in22 ?? ?? lgdtd0s in2022 ?? ???dtdlg /0 ??1 小角度無阻尼單擺 橢圓點 數(shù)學(xué)表達(dá)式 線性化處理 忽略 3次以上的高次項 得線性方程 ?????? !7!5!3s in753 xxxxxxx ?sin02022 ?? ???dtd0s in2022 ?? ???dtd數(shù)學(xué)表達(dá)式 1 小角度無阻尼單擺 橢圓點 令 代入方程得得特征方程： 特征根： 得通解為： 式中 為復(fù)常數(shù) 。 由于描述單擺振動的應(yīng)為實函數(shù) ， 所以常數(shù) 必須滿足條件： 將 寫成指數(shù)形式后得： 該式是振幅為 P， 角頻率為 的簡諧振動 ， 其振動波形為正弦曲線 。 角頻率只與擺線 l 得長度有關(guān) ， 與擺錘質(zhì)量無關(guān) ， 稱為固有角頻率 。 te ?? ??0202 ?? ??02,1 ?? i??titi eCeCt 00 21)( ??? ???)c o s ())(2/()( 0)()( 00 ??? ???? ???? ??? tPeePt titi21,CC 21,CCtitititi eCeCeCeC 0000 21*2*1 ???? ?? ???21,CC0?數(shù)學(xué)表達(dá)式 1 小角度無阻尼單擺 橢圓點 使 得： 一次積分后： 式中 E 為積分常數(shù)，由初始條件決定。把 看作為兩個變量，則方程是一個圓周方程，圓的半徑為 ，振動過程是一個代表點沿圓周轉(zhuǎn)動。 022 ????dtd10 ??Edtd ???????? 222121 ???? ,dtdE相圖 1 小角度無阻尼單擺 橢圓點 1 小角度無阻尼單擺 橢圓點 相圖 相圖即狀態(tài)圖 ， 是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊 (Poincare)于十九世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運動狀態(tài)的方法 。 相圖上每一個點表示了系統(tǒng)在某一時刻狀態(tài) （ 擺角與角速度 ） ， 系統(tǒng)運動狀態(tài)用相圖上的點的移動來表示 ， 點的運動軌跡稱為軌線 。 能量方程 右邊第一項為系統(tǒng)動能 K ， 第二項為系統(tǒng)勢能 V， E 是系統(tǒng)的總能量 。 運動過程中 K 和 V 兩者都隨時間變化 ， 而系統(tǒng)總能量 E 保持不變 。 當(dāng) K =V =0時 ， E=0， 有 ， 這時擺處于靜止?fàn)顟B(tài) ， 為靜止平衡 。 當(dāng) E 0 時 ， 由于系統(tǒng)總能量保持不變 ， 擺的運動用確定周期描述 。 不同能量 E 相應(yīng)于半徑不同的圓 ， 構(gòu)成一簇充滿整個平面的同心圓 [或橢圓 ]。 同一圓周 [或橢圓 ]上各點能量相同 ， 又稱為等能軌道 。 坐標(biāo)原點是能量 E =0 的點 ， 圍繞該點是橢圓 ， 故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點為 ‘ 橢圓點 ’ 。 EVK ??Edtd ???????? 222121 ??0?????周期與擺角無關(guān)？ 看看實驗結(jié)果： 定性結(jié)論 ： 1. 周期隨擺角增加而增加 2. 隨擺角增加波形趨于矩形 ? ?? 0 5 10 20 30 45T/ T 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 5 1 . 0 0 1 9 1 . 0 0 7 7 1 . 0 1 7 4 1 . 0 3 6 9TglT ???? ?2/2 00 ???單擺周期 2 任意角度無阻尼單擺振動 雙曲點 對方程 乘以 后積分 其中 積分 設(shè) t = 0時 ， ， 周期為 T， 在 時應(yīng)有 ， 故有： 最后得： 0s in2022 ?? ???dtddtd /???? c os2 202???????? Edtd020 c o s2 ????E2/100 )c os( c os2[ ???? ??dtd ??? 2/100 )]c os( c o s2[ ???? dt0?? 4/Tt ? 0???? ?? ?? 00 2/12020 2/s in2/s in24/ ?
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