【正文】 2 33a a aa A a A a A a a aa a a? ? ?把第 1行的元素?fù)Q成第 2行的對(duì)應(yīng)元素，則 0.?定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ? ?1 1 2 2 1 , 2 , ,i i i i i n i na A a A a A D i n? ? ? ? ?推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 1 1 2 2 0 , .i j i j i n j na A a A a A i j? ? ? ? ?1 1 2 2,0,nii ni j j jD i ja A a A a Aij??? ? ? ?? ??1 1 2 2,0,i j i j i n jnD i ja A a A a Aij??? ? ? ?? ??綜上所述，有 同理可得 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0D?? ???例 計(jì)算行列式 解 5 3 1 2 01 7 2 5 20 2 3 1 00 4 1 4 00 2 3 5 0D?? ???? ?255 3 1 20 2 3 1120 4 1 40 2 3 5???????2 3 11 0 0 7 20 6 6??? 721 0 ( 2 )66?? ? ? ?20 ( 42 12 ) 1080.? ? ? ? ? ?2 3 12 5 4 1 42 3 5?? ? ? ? ?? ?53204140132021352152???????31rr?21( 2 )rr??例 13 設(shè) , 的 元的余子式和 代數(shù)余子式依次記作 和 ，求 分析 利用 3 5 2 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3D????? ? ?D ( , )ijijM ijA1 1 1 2 1 3 1 4A A A A???及 1 1 2 1 3 1 4 1 .M M M M???11 12 13 1421 22 23 2411 11 12 12 13 13 14 1431 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aa A a A a A a Aa a a aa a a a? ? ? ?1 2 52 0 21 0 0??解 11 12 13 141 1 11 1 0 5134311321A A A A?? ? ? ??? ? ?43rr?31rr?1 1 1 11 1 0 52 2 0 21 1 0 0???1152 2 2110????21cc?2502?? 4.?1 5 2 11 1 0 51 3 1 31 4 1 3????? ? ? ?1 0 51 0 51 1 3??? ? ?43rr?1 5 2 11 1 0 51 3 1 30 1 0 0????1 2 11 0 51 1 3? ? ? ?132rr?0.?M M M M A A A A? ? ? ? ? ? ?11 21 31 41 11 21 31 41。kkk kkpD p ppp??對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式 1D ijr kr? 1D設(shè)為 對(duì) 作運(yùn)算 ，把 化為下三角形行列式 2D ijc kc? 2D112 1110.nnn nkqD q qqp??設(shè)為 對(duì) D 的前 k 行作運(yùn)算 ，再對(duì)后 n 列作運(yùn)算 ， 把 D 化為下三角形行列式 ,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD???????????11 11kk nnD p p q q?? ?ijr kr? ijc kc?故 (行列式中行與列具有同等的地位 , 凡是對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也同樣成立 ). 計(jì)算行列式常用方法： (1)利用定義 。 n 階行列式的定義 第 1章 行列式 二階與三階行列式 全排列和對(duì)換 n階行列式的定義 行列式的性質(zhì) 行列式按行（列）展開(kāi) 一、概念的引入 11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?規(guī)律： 6項(xiàng)，即 3!項(xiàng)． ． （正負(fù)號(hào)除外），其中 是 3的某個(gè)排列 . 是 偶排列 時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取 正號(hào) ； 當(dāng) 是 奇排列 時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取 負(fù)號(hào) . 1 2 31 2 3p p pa a a 1 2 3p p p1 2 3p p p1 2 3p p p所以，三階行列式可以寫(xiě)成 1 2 31 2 31 2 3()1 2 3( 1 )t p p pp p pp p pa a a???其中 表示對(duì) 3的所有排列求和 . 1 2 3p p p?二階行列式有類似規(guī)律 .下面將行列式推廣到一般的情形 . 11 12 1321 22 2331 32 33a a aD a a aa a a? ?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ?二、 n 階行列式的定義 1. n 階行列式共有 n! 項(xiàng)． n 個(gè)元素的乘積． （正負(fù)號(hào)除外），其中 是 1, 2, … , n 的某個(gè)排列 . 是 偶排列 時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取 正號(hào) ； 當(dāng) 是 奇排列 時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取 負(fù)號(hào) . 1212 np p npa a a 12 np p p12 np p p12 np p p12121211 12 121 22 2 ()1212( 1 ) nnnnn t p p pp p n pp p pn n n na a aa a aD a a aa a a? ? ??簡(jiǎn)記作 ， 其中 為行列式 D的 (i, j)元 det ( )ijaija思考題： 成立 嗎？ 答： 符號(hào) 可以有兩種理解： ?若理解成絕對(duì)值，則 ； ?若理解成一階行列式，則 . 11? ? ?1?11? ? ?11? ? ?注意： 當(dāng) n = 1時(shí)，一階行列式 |a| = a，注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆 . 例如：一階行列式 . 11? ? ?11 12 13 1422 23 24333 34440000 0 0a a a aaaaDaaa?例： 寫(xiě)出四階行列式中含有因子 的項(xiàng) . 2311aa例： 計(jì)算行列式 解： 1 1 2 3 3 2 4 4a a a a? 11 23 34 42 .a a a a和 1423232410 0 00 0 00 0 00 0 0aaDaa?1122133440 0 00 0 00 0 00 0 0aaDaa?1121 22432 32 3341 42 43 440 0 0000aaaDaaaa a a a?解： 1122133440 0 00 0 00 0 00 0 0aaDaa?1423232410 0 00 0 00 0 00 0 0aaDaa?1 1 2 2 3 3 4 4a a a a?( 43 21 ) 14 23 33 41( 1 ) t a a a a?? 1 4 2 3 3 3 4 1a a a a?( 43 21 ) 0 1 2 3t ? ? ? ?34 6.2???其中 11 12 13 1422 23 24333 34440000 0 0a a a aaaaDaaa?1121 22432 32 3341 42 43 440 0 0000aaaDaaaa a a a?1 1 2 2 3 3 4 4a a a a?a a a a1 1 2 2 3 3 4 4?12 , 11nnnaaDa??1122nnaaDa?四個(gè)結(jié)論： (1) 對(duì)角行列式 nnaaa ?2211?(2) ( 1 )2 1 2 , 1 1( 1 )nnn n na a a????nnnnaaaaaaD???????21222111000?nnnnaaaaaaD???????00022211211?(3) 上三角形行列式 （主對(duì)角線下側(cè)元素都為 0） nnaaa ?2211?(4) 下三角形行列式 （主對(duì)角線上側(cè)元素都為 0） nnaaa ?2211?思考題： 用定義計(jì)算行列式 解：用樹(shù)圖分析 ?1 1 3 3