線性代數(shù)行列式-習(xí)題課-文庫吧資料
2025-08-11 15:32本頁面
【正文】 到后一列上去，化成下三角行列式 方法五 遞推法 如例 1的第二種解法；例 3的第二種解法 方法六 用數(shù)學(xué)歸納法 例 4 證明 c os 1 0 0 01 2 c os 1 0 00 1 2 c os 0 00 0 0 2 c os 10 0 0 1 2 c osc os .nnD????????證 對階數(shù) n用數(shù)學(xué)歸納法 .,2,1,2c o s1c o s22c o s11c o s,c o s 221結(jié)論成立時當(dāng)所以因?yàn)???????nnDD?????得展開按最后一行現(xiàn)將的行列式也成立于階數(shù)等于下證對的行列式結(jié)論成立假設(shè)對階數(shù)小于,.,Dnnn1c os 1 0 0 01 2 c os 1 0 00 1 2 c os 0 0( 1 )0 0 0 2 c os 00 0 0 1 1c os 1 0 0 01 2 c os 1 0 00 1 2 c os 0 02 c os0 0 0 2 c os 10 0 0 1 2 c osnnnD???????????????,)2c o s ( ,)1c o s ( ,21????????nDnDnn由歸納假設(shè)。 （行列式中某一行（列）只有一、二個非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式） 1 2 2 11111 0 0 00 1 0 00 0 0 1nn n nnnnnxxDxa a a a xax a x a x a?????????? ? ? ? ?例 3 證明 證法一：按最后一行展開 1211211 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0( 1 ) ( 1 )0 0 1 0 0 11 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0( 1 ) ( 1 ) ( )0 0 0 1 0 0 0nnn n nn n n nxxD a axxxxxxa x ax???? ? ????? ? ? ?????? ? ? ? ? ??=右邊 證法二：按第一列展開，得 Dn=xDn1+an 再根據(jù)上面的遞推公式或數(shù)學(xué)歸納法可得結(jié)果?？蠢?1 解：原式 = 11 1 10 1 10 1 1naa??11 1 11010naa???11211111 1 10000niiincc iianaaaa??? ?????2 2 2 24 4 4 41 1 1 1a b c dDa b c da b c d?例 2 計算 2 2 2 2 23 3 3 3 34 4 4 4 41 1 1 1 1()a b c d xa b c d xfxa b c d xa b c d x?解：構(gòu)造 （這是一個范德蒙行列式） =(xa)(xb)(xc)(xd)(da)(db)(dc)(ca)(cb)(ba) 另外 f(x)按最后一列展開，可得 2 3 415 25 35 45 55()f x A A x A x A x A x? ? ? ? ?上兩式是恒等式，故同次冪系數(shù)相等。 二、計算行列式 （除掌握概念與性質(zhì)外還有技巧） ? 方法一：三角形法 121 1 11 1 1( 0 )1 1 1ninaaDaa
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