第一章行列式-文庫(kù)吧資料
2025-07-28 09:41本頁(yè)面
【正文】 ?????????211121100??ininiiii AaAaAa ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??例 1 3351110243152113???????D03550100131111115?????? ? 31 2 cc ??34 cc ?0551111115)1( 33?????? ?055026115???5526)1( 31????? ?5028???.40?12 rr ? 證 用數(shù)學(xué)歸納法 21211xxD ?? 12 xx ?? ,)(12 ? ??? ?? ji ji xx）式成立．時(shí)（當(dāng) 12?? n例 2 證明范德蒙德 (Vandermonde)行列式 ??????????1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD???????)1(，階范德蒙德行列式成立）對(duì)于假設(shè)（ 11 ?n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn?????????????????????就有提出，因子列展開(kāi)，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?)()())((211312 jjin innxxxxxxxxD ?????? ?????).(1 jjin ixx ?? ????223223211312111)())((???????nnnnnnxxxxxxxxxxxx??????? n1階范德蒙德行列式 推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即 .ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa??????????? ???證 行展開(kāi)，有按第把行列式 jaD ij )d e t (?,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa??????????? ???可得換成把 ),1( nkaa ikjk ??行第 j行第 i,時(shí)當(dāng) ji ?).(,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?相同 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ????????? 。kpkp ab ? 當(dāng) 時(shí) , jik ,?, ipjpjpip abab ??例如 推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零 . 證明 互換相同的兩行，有 .0?? D,DD ??? ? ? ? ,11 1tt ????故 ? ? .111 11 DaaaaDnij npjpippt ????? ? ???證畢 ,571571??266853.825825??361567567361266853性質(zhì) 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式 . k knnnniniinaaakakakaaaa?????????????????212111211nnnniniinaaaaaaaaak?????????????????212111211?推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面． 性質(zhì)４ 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零． 證明 nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa?????????????????????????21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak?????????????????????????21212111211?.0?性質(zhì) 5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和 . nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD??????????)()()(2122222211111211???????則 D等于下列兩個(gè)行列式之和： nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD?????????????????????????122211111122211111例如 性質(zhì)６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列 (行 )對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變． njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa?????????????12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr?????????????)()()(1222221111111?????k例如 例１ 2101044614753124025973313211???????????D應(yīng)用舉例 計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ． ji krr ?3? ?2101044614753124025973313211???????????D3? ?解 2101044614753124022022013211312?????????? rr2101044614753140202022013211?????????2101044614753124022022013211312?????????? rr? ?2???? ?3???13 2rr ?? ??? 4?42 rr ?2220020220140203512013211????????? 2220035120140202022013211?????????14 4rr ?13 3rr ?2220001000211003512013211????????34 rr ?2220020220211003512013211?????????23 rr ??? ?2???6000001000211003512013211????????? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ? .12?6400001000211003512013211????????35 2rr ?4??例 2 計(jì)算 階行列式 nabbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababbnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 都加到第一列得 n,3,2 ?? ?abbbabbbabbbbna?????????1111)1( ???? ?babababbbbna????????1)1(00? ? .)()1( 1????
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