第一章行列式(參考版)
2025-07-25 09:41本頁面
【正文】 ,0,1 jijiDDAaijnkjkik 當(dāng)當(dāng)????????.,0,1jijiij 當(dāng)，當(dāng)其中三、小結(jié) 思考題 階行列式設(shè) nnnDn?????????00103010021321?求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 .11211 nAAA ??? ?思考題解答 解 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成 nAAA 11211 ??? ?n?????????001030100211111?.11!2???????? ?? ??nj jn。,0,1 jijiDDAaijnkjkik 當(dāng)當(dāng)????????.,0,1jijiij 當(dāng)，當(dāng)其中例３ 計(jì)算行列式 277010353????D解 27013 ???D.27?按第一行展開，得 2005?7713 ??0532004140013202527102135?????D例４ 計(jì)算行列式 解 0532004140013202527102135?????D66027013210 ???? ? 66 27210 ?????? ? .1080124220 ?????53241413252 ?????? ?53204140132021352152???????13 rr ?? ? 12 2 rr ??? 1. 行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具 . ????????? 。(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ． 三、小結(jié) 行列式的 6個(gè)性質(zhì) 思考題 階行列式計(jì)算 411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD?????? ?1?a b c d已知思考題解答 解 111111112222dddcccbbbaaaD ?1111111111112222dddcccbbbaaa?dddcccbbbaaaa b cd1111111111112222? ? ?dddcccbbbaaa111111111111122223??.0?,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????333231232221131211aaaaaaaaa例如 ? ?3223332211 aaaaa ?? ? ?3321312312 aaaaa ??? ?3122322113 aaaaa ??333123211333312321123332232211 aaaaaaaaaaaaaaa ???一、余子式與代數(shù)余子式 在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的 余子式 ，記作 n ija i j1?n ija.Mij? ? ，記 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代數(shù)余子式 ． ija例如 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44424134323114121123aaaaaaaaaM ?? ? 233223 1 MA ??? .23M??,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?,44434134333124232112aaaaaaaaaM ?? ? 122112 1 MA ??? .12M??,33323123222113121144aaaaaaaaaM ?? ? .1 44444444 MMA ??? ?.個(gè)代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一行列式的每個(gè)元素分別引理 一個(gè) 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ． ijij AaD ?n iija ija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD ?? ? .14442412422211412113333aaaaaaaaaa???例如 證 當(dāng) 位于第一行第一列時(shí) , ijannnnnaaaaaaaD??????21222211100?即有 .1111 MaD ?又 ? ? 111111 1 MA ??? ,11M?從而 .1111 AaD ?在證一般情形 , 此時(shí) nnnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?,1,2,1 行對(duì)調(diào)第行第行行依次與第的第把 ?? iiiD得 ? ?nnnjnnijiiijiaaaaaaaD????????????1,1,11,11001 ??????ijaija,1,2,1對(duì)調(diào)列第列第列列依次與第的第再把 ?? jjjD得 ? ? ? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1110011???????????ija? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa????????????1,11,1,12001?????????? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa????????????1,11,1,1001????????ijaijannnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?中的余子式 .ijM在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa????????????1,11,1,100?????ijaija故得 ? ?nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD????????????1,11,1,1001????????? ? .1 ijijji Ma???于是有 nnjnnjnijijiijaaaaaaa????????????1,11,1,100?????,ijij Ma?ijaija定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni ,2,1 ??證 nnnniniinaaaaaaaaaD??????????????212111211000000 ??????????二、行列式按行（列）展開法則 nnnninaaaaaaa???????????2111121100?nnnninaaaaaaa???????????2121121100?nnnninnaaaaaaa???
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