【正文】 目 錄 ? 第一章 n 階行列式 ? 第二章 矩陣 ? 第三章 線性方程組 ? 第四章 線性空間 ? 第五章 矩陣的特征值與特征向量 ? 第六章 二次型 167。 n 階行列式 排列與逆序 n 階行列式的定義 167。 行列式的性質(zhì) 167。 行列式按行（列）展開定理 167。 Cramer 法則 }} 行列式的基本性質(zhì) 及計算方法 利用行列式求解線性方程組 {第一章 行列式 用消元法解二元線性方程組 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa ??1??2? ? :1 22a? ,2212221212211 abxaaxaa ??? ? :2 12a? ,1222221212112 abxaaxaa ??，得兩式相減消去 2x一、二階行列式的引入 。212221121122211 baabxaaaa ??? ）（，得類似地，消去 1x,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（時，當 021122211 ?? aaaa 方程組的解為 ，211222112122211 aaaabaabx??? ）（ 3.211222112112112 aaaaabbax???由方程組的四個系數(shù)確定 . 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排 稱列）的數(shù)表 )4(22211211aaaa定義 )5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并記作）所確定的二階稱為數(shù)表（表達式 ?即 .2112221122211211 aaaaaaaaD ???11a 12a22a12a主對角線 副對角線 對角線法則 2211aa? .2112 aa?二階行列式的計算 若記 ,22211211aaaaD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組 系數(shù)行列式 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211 ababD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211 ababD ????????.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112 babaD ?則二元線性方程組的解為 ,2221121122212111aaaaababDDx ??注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式 . .2221121122111122aaaababaDDx ??例 1 ???????.12,12232121xxxx求解二元線性方程組解 12 23 ??D )4(3 ??? ,07 ??112121??D,14? 121232 ?D ,21??DDx 11 ?? ,2714 ??DDx 22 ? .3721 ????二、三階行列式 定義 333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表行個數(shù)排成設(shè)有記 ,312213332112322311322113312312332211 )6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????333231232221131211aaaaaaaaa（ 6）式稱為數(shù)表（ 5）所確定的 三階行列式 . 323122211211aaaaaa? ? ????.312213332112322311 aaaaaaaaa ???(1)沙路法 三階行列式的計算 322113312312332211 aaaaaaaaa ???D333231232221131211aaaaaaaaaD ?.列標 行標 333231232221131211aaaaaaaaaD ?333231232221131211aaaaaaaaa332211 aaa?.322311 aaa?(2)對角線法則 注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三 元素的乘積冠以負號． 說明 1 對角線法則只適用于二階與三階行列式． 322113 aaa? 312312 a?312213 aaa? 332112 a? 如果三元線性方程組 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?,0? 利用三階行列式求解三元線性方程組 2. 三階行列式包括 3!項 ,每一項都是位于不同行 , 不同列的三個元素的乘積 ,其中三項為正 ,三項為 負 . ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD ?若記 333231232221131211aaaaaaaaaD ?或 ??????????121bbb??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD ?記 ,3332323222131211aabaabaabD ?即 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ???????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ???????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaD ??,3333123221131112abaabaabaD ? .3323122221112113baabaabaaD ?則三元線性方程組的解為 : ,11 DDx ? ,22 DDx ? .33 DDx ?333231232221131211aaaaaaaaaD ?