線性代數(shù)習(xí)題行列式(已修改)
2025-05-12 05:22 本頁面
【正文】 利用范德蒙行列式計(jì)算 例 計(jì)算 利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德 蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。 .333222111222nnnDnnnn?????????，于是得到增至冪次數(shù)便從則方若提取各行的公因子，遞升至而是由變到序排列，但不是從次數(shù)自左至右按遞升次方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個(gè)10.1,10,??nnnD n解 .1333122211111!121212nnnnDnnnn????????????? 上面等式右端行列式為 n階范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 !.1!2)!2()!1(!)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!)(!1?????????????????? ?????nnnnnnnnxxnDjinjin 評注 本題所給行列式各行（列）都是某元 素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如 提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行 列式化成范德蒙行列式． 用化三角形行列式計(jì)算 例 計(jì)算 .43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxD nnnn????????????解 列都加到第一列，得將第 1,3,2 ?n?xaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin????????32121212111??????????????提取第一列的公因子，得 .1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxD nnnniin??????????????后一列，得倍加到最列的將第列，倍加到第列的列，將第倍加到第列的將第２ )(1,3)(12)(1 1aaan????.)()(11? ??????ni ini iaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin???????????????????23122121111010010001)( 評注 本題利用行列式的性質(zhì)，采用 “ 化零 ” 的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式． 化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多 的行（列）；若沒有１，則可適當(dāng)選取便于化零 的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù) 化為 1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則 應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到 化為三角形行列式之目的． ，得提取公因子行中行，并從第行都加到第、的第將dcbaD???114324 用降階法計(jì)算 例 計(jì)算 .4abcdbadccdabdcbaD ?解 ,1111)(4abcdbadccdabdcbaD ????列，得列都減去第、再將第 1432 ,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD?????????????行展開，得按第 1 .)(4dadbd
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